東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2019年8月実施 微分方程 Author 思齐塾 , 祭音Myyura
Description
両端固定、長さ l l l x x x x x x x x x t t t x x x u ( x , t ) u(x, t) u ( x , t ) u ( 0 , t ) = 0 , u ( l , t ) = 0 u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u ( 0 , t ) = 0 , u ( l , t ) = 0
∂ 2 u ∂ t 2 − ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0 ∂ t 2 ∂ 2 u − ∂ x 2 ∂ 2 u = 0 (1) u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) u(x, t) = X(x)T(t) u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )
(2) t = 0 t = 0 t = 0 u ( x , 0 ) = 0 u(x, 0) = 0 u ( x , 0 ) = 0 t = 0 t = 0 t = 0
∂ u ∂ t ∣ t = 0 = sin 3 π x l \left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t=0} = \sin^3 \frac{\pi x}{l} ∂ t ∂ u t = 0 = sin 3 l π x の初期速度が与えられたとし、 u ( x , t ) u(x, t) u ( x , t )
题目描述
考虑一根长度为 l l l x x x x x x x x x u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t ) t t t x x x
∂ 2 u ∂ t 2 − ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0 ∂ t 2 ∂ 2 u − ∂ x 2 ∂ 2 u = 0 和固定端边界条件
u ( 0 , t ) = 0 , u ( l , t ) = 0. u(0,t)=0,\qquad u(l,t)=0. u ( 0 , t ) = 0 , u ( l , t ) = 0. 回答下列问题。
令
u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) , u(x,t)=X(x)T(t), u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) , 用分离变量法把上述偏微分方程化为两个常微分方程，并结合固定端条件说明空间因子所满足的边界条件。
已知初始时刻弦没有位移，
u ( x , 0 ) = 0 , u(x,0)=0, u ( x , 0 ) = 0 , 且初速度为
∂ u ∂ t ∣ t = 0 = sin 3 π x l . \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0}
=\sin^3\frac{\pi x}{l}. ∂ t ∂ u t = 0 = sin 3 l π x . 求满足方程、边界条件和这两个初始条件的 u ( x , t ) u(x,t) u ( x , t )
Kai (1)
u ( x , t ) = X ( x ) T ( t ) u(x,t)=X(x)T(t) u ( x , t ) = X ( x ) T ( t )
X T ′ ′ − X ′ ′ T = 0 , T ′ ′ T = X ′ ′ X = − λ XT''-X''T=0,\qquad \frac{T''}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda X T ′′ − X ′′ T = 0 , T T ′′ = X X ′′ = − λ となる。したがって、求める2つの常微分方程式は
X ′ ′ + λ X = 0 , T ′ ′ + λ T = 0 \boxed{X''+\lambda X=0,\qquad T''+\lambda T=0} X ′′ + λ X = 0 , T ′′ + λ T = 0 であり、固定端条件は X ( 0 ) = X ( l ) = 0 X(0)=X(l)=0 X ( 0 ) = X ( l ) = 0
λ n = ( n π l ) 2 , X n ( x ) = sin n π x l ( n = 1 , 2 , … ) \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}\quad(n=1,2,\ldots) λ n = ( l nπ ) 2 , X n ( x ) = sin l nπ x ( n = 1 , 2 , … ) である。
(2)
ω n = n π / l \omega_n=n\pi/l ω n = nπ / l
u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ ( A n cos ω n t + B n sin ω n t ) sin n π x l . u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt\right)\sin\frac{n\pi x}{l}. u ( x , t ) = n = 1 ∑ ∞ ( A n cos ω n t + B n sin ω n t ) sin l nπ x . 初期変位 u ( x , 0 ) = 0 u(x,0)=0 u ( x , 0 ) = 0 A n = 0 A_n=0 A n = 0
sin 3 θ = 3 sin θ − sin 3 θ 4 \sin^3\theta=\frac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4} sin 3 θ = 4 3 sin θ − sin 3 θ なので、初期速度は
u t ( x , 0 ) = 3 4 sin π x l − 1 4 sin 3 π x l . u_t(x,0)=\frac34\sin\frac{\pi x}{l}-\frac14\sin\frac{3\pi x}{l}. u t ( x , 0 ) = 4 3 sin l π x − 4 1 sin l 3 π x . 一方、級数解から
u t ( x , 0 ) = ∑ n = 1 ∞ B n ω n sin n π x l u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\sin\frac{n\pi x}{l} u t ( x , 0 ) = n = 1 ∑ ∞ B n ω n sin l nπ x である。係数比較により
B 1 π l = 3 4 , B 3 3 π l = − 1 4 B_1\frac{\pi}{l}=\frac34,\qquad B_3\frac{3\pi}{l}=-\frac14 B 1 l π = 4 3 , B 3 l 3 π = − 4 1 だから、 B 1 = 3 l / ( 4 π ) , B 3 = − l / ( 12 π ) B_1=3l/(4\pi),\ B_3=-l/(12\pi) B 1 = 3 l / ( 4 π ) , B 3 = − l / ( 12 π )
u ( x , t ) = 3 l 4 π sin π t l sin π x l − l 12 π sin 3 π t l sin 3 π x l \boxed{
u(x,t)=\frac{3l}{4\pi}\sin\frac{\pi t}{l}\sin\frac{\pi x}{l}
-\frac{l}{12\pi}\sin\frac{3\pi t}{l}\sin\frac{3\pi x}{l}} u ( x , t ) = 4 π 3 l sin l π t sin l π x − 12 π l sin l 3 π t sin l 3 π x である。 t = 0 t=0 t = 0 t t t t = 0 t=0 t = 0 sin 3 ( π x / l ) \sin^3(\pi x/l) sin 3 ( π x / l )
图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/未知_未知_20260121_155249_622012.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。