東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2019年8月実施 微分方程

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• TITech
• Initial-Value-Problem
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

1. 以下の常微分方程式の厳密解を求めよ．虚数を使わずに表すこと．

(1) $f''(t) - f'(t) - 20f(t) = 0, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 3$

(2) $f''(t) - 6f'(t) + 9f(t) = e^{3t}, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 1$

(3) $f''(t) + 9f(t) = \cos t, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 3$

题目描述

求下列三个常微分方程初值问题的精确解，答案不得使用虚数：

1. 求解初值问题：

   $$f''(t)-f'(t)-20f(t)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=3.$$

2. 求解初值问题：

   $$f''(t)-6f'(t)+9f(t)=e^{3t},\qquad f(0)=0,\qquad f'(0)=1.$$

3. 求解初值问题：

   $$f''(t)+9f(t)=\cos t,\qquad f(0)=0,\qquad f'(0)=3.$$

Kai

1.

(1)

特性方程式は

$$r^2-r-20=(r-5)(r+4)=0$$

なので、 $f=C_1e^{5t}+C_2e^{-4t}$ である。初期条件より

$$C_1+C_2=1,\qquad 5C_1-4C_2=3.$$

これを解くと $C_1=7/9,\ C_2=2/9$ だから、

$$\boxed{f(t)=\frac79e^{5t}+\frac29e^{-4t}}$$

である。

(2)

左辺の微分演算子は $(D-3)^2$ である。 $f=e^{3t}g(t)$ とおくと

$$(D-3)^2f=e^{3t}g''=e^{3t}$$

より $g''=1$ 、したがって $g=t^2/2+C_1t+C_2$ である。 $f(0)=0$ より $C_2=0$ 、また

$$f'=e^{3t}(3g+g')$$

なので $f'(0)=C_1=1$ である。よって

$$\boxed{f(t)=e^{3t}\left(t+\frac{t^2}{2}\right)}$$

となる。

(3)

同次解は $C_1\cos3t+C_2\sin3t$ である。 $\cos t$ は共振しないので、特解を $A\cos t$ とおけば

$$(A\cos t)''+9A\cos t=8A\cos t,$$

ゆえに $A=1/8$ である。したがって

$$f=C_1\cos3t+C_2\sin3t+\frac18\cos t.$$

$f(0)=0$ より $C_1=-1/8$ 、 $f'(0)=3$ より $3C_2=3$ 、すなわち $C_2=1$ である。よって

$$\boxed{f(t)=\sin3t+\frac18\bigl(\cos t-\cos3t\bigr)}$$

である。以上の各式は実数だけで表され、直接代入により微分方程式と初期条件を満たすことが確認できる。