東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 线性代数

标签：

• TITech
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Orthogonal-Matrix
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Matrix-Determinant

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

行列 $A$ に対する転置行列を $A^T$ で，行列式を $|A|$ で表し，単位行列を $I$ で表す．このとき，行列式に関する次の問いに答えよ．なお，導出の過程を示すこと．

1. 次の 3 つの行列式の値をそれぞれ求めよ．

   (a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$ (b) $\begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ (c) $\begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

2. $U$ を直交行列とする．すなわち， $UU^T = U^TU = I$ が成立する．このとき， $U$ の行列式の値になりうるものをすべて求めよ．さらに，それらの値をもつ行列の例を，それぞれ一つ示せ．

3. 自然数 $N$ に対して， $A$ を $N$ 次実対称行列とし，その固有値を $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N$ とする．このとき， $|A|$ を求めよ．

4. ある行列の異なる 2 列を入れ替えると，その行列式の値は，もとの行列式の値の $-1$ 倍になる．この性質を使って，ある行列の異なる 2 列が列ベクトルとして等しいならば，その行列式の値が 0 になることを証明せよ．

5. 次の連立 1 次方程式の解をクラメルの公式を使って求めよ．

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x - y + z = -2 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{cases}$$

题目描述

以 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置，以 $|A|$ 表示其行列式，以 $I$ 表示单位矩阵。回答下列问题，并说明推导过程。

1. 分别计算以下三个行列式：

   a.

   $$\begin{vmatrix}2&4\\3&-1\end{vmatrix}.$$

   b.

   $$\begin{vmatrix} 2&4&-2\\ 3&-1&1\\ 1&2&1 \end{vmatrix}.$$

   c.

   $$\begin{vmatrix} 2&4&-2&3\\ 3&-1&1&1\\ 1&2&1&2\\ 3&1&-1&1 \end{vmatrix}.$$

2. 设 $U$ 为正交矩阵，即

   $$UU^T=U^TU=I.$$

   求 $|U|$ 的全部可能取值，并为每个可能值各给出一个相应的正交矩阵示例。

3. 对自然数 $N$，设 $A$ 是 $N$ 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_N$。用这些特征值表示 $|A|$。

4. 已知交换矩阵中两个不同的列向量会使行列式变为原来的 $-1$ 倍。利用这一性质证明：若矩阵中两个不同的列向量相同，则该矩阵的行列式为 $0$。

5. 使用克拉默法则求解方程组

   $$\begin{cases} x+2y+3z=1,\\ 2x-y+z=-2,\\ 2x+y+2z=2. \end{cases}$$

Kai

解答

1. 行列式

(a)

$$\begin{vmatrix}2&4\\3&-1\end{vmatrix}=2(-1)-4\cdot3=\boxed{-14}.$$

(b)

第1行で展開すると

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix}2&4&-2\\3&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix} &=2\begin{vmatrix}-1&1\\2&1\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}3&1\\1&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&-1\\1&2\end{vmatrix}\\ &=2(-3)-4(2)-2(7)=\boxed{-28}. \end{aligned}$$

(c)

第1行と第3行を交換した後、 $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ , $R_3\leftarrow R_3-2R_1$ , $R_4\leftarrow R_4-3R_1$ とすると、元の行列式を $D$ として

$$D=-\begin{vmatrix}1&2&1&2\\0&-7&-2&-5\\0&0&-4&-1\\0&-5&-4&-5\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix}-7&-2&-5\\0&-4&-1\\-5&-4&-5\end{vmatrix}.$$

右端は $-7(20-4)+2(0-5)-5(0-20)=-22$ なので、 $\boxed{D=22}$ である。

2. 直交行列

$UU^T=I$ の行列式を取ると $|U|^2=1$ だから、

$$\boxed{|U|=1\ \text{または}\ |U|=-1}.$$

$m$ 次の例として、 $I_m$ は行列式1をもち、 $\operatorname{diag}(-1,1,\ldots,1)$ は行列式 $-1$ をもつ。

3. 実対称行列

ある直交行列 $Q$ により $A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)Q^T$ と対角化できる。従って

$$|A|=|Q|^2\prod_{i=1}^N\lambda_i=\boxed{\prod_{i=1}^N\lambda_i}.$$

4. 等しい2列

行列式を $D$ とする。等しい2列を交換しても行列は変わらないので交換後も $D$ であるが、交換則では $-D$ である。従って $D=-D$ 、すなわち $\boxed{D=0}$ である。

5. クラメルの公式

$$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&-1&1\\2&1&2\end{vmatrix}=5,$$

$$D_x=\begin{vmatrix}1&2&3\\-2&-1&1\\2&1&2\end{vmatrix}=9,\quad D_y=\begin{vmatrix}1&1&3\\2&-2&1\\2&2&2\end{vmatrix}=16,\quad D_z=\begin{vmatrix}1&2&1\\2&-1&-2\\2&1&2\end{vmatrix}=-12.$$

よって

$$\boxed{(x,y,z)=\left(\frac95,\frac{16}{5},-\frac{12}{5}\right)}.$$

代入すれば3式の右辺が順に $1,-2,2$ となり、計算を確認できる。