東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2. 楕円体曲面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a > b > c > 0)$ と，それに全ての頂点が内接する直方体を考える．以下の問いに答えよ．

(1) 楕円体の体積 $V_e$ を求めよ．

(2) 直方体の頂点のうち，第一象限におけるものを $(x, y, z)$ とする場合，直方体の体積 $V_c$ を表現せよ．

(3) (2) の最大値を求めるために，ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入し，下記によって条件付き極値問題を解くための関数 $f(x, y, z, \lambda)$ を求めよ．

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial \lambda} = 0$$

(4) (3) における方程式を解き，直方体の体積の最大値 $V_{c\text{max}}$ を求めよ．

(5) 楕円体の体積に対する直方体の体積の比 $\frac{V_{c\text{max}}}{V_e}$ の値を有効数字 3 桁で求めよ．

题目描述

考虑椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \qquad a>b>c>0,$$

以及一个所有顶点均位于该椭球面上的内接长方体。回答下列问题。

1. 求椭球体的体积 $V_e$。

2. 若长方体位于第一卦限的一个顶点为 $(x,y,z)$，用 $x,y,z$ 表示长方体的体积 $V_c$。

3. 为求第 2 问所得体积的最大值，引入拉格朗日乘数 $\lambda$，写出用于求解该约束极值问题的函数 $f(x,y,z,\lambda)$，使候选极值由

   $$\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial f}{\partial\lambda} =0$$

   确定。

4. 解第 3 问得到的方程组，求长方体体积的最大值 $V_{c\mathrm{max}}$。

5. 计算最大长方体体积与椭球体体积之比

   $$\frac{V_{c\mathrm{max}}}{V_e},$$

   结果保留三位有效数字。

Kai

解答

楕円体の主軸と辺が平行な内接直方体を考える。第一八分象限の頂点を $(x,y,z)$ とすれば、 $x,y,z>0$ かつ

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

である。

(1)

単位球を変換 $(X,Y,Z)\mapsto(aX,bY,cZ)$ すると体積は $abc$ 倍になるので、

$$V_e=abc\cdot\frac{4\pi}{3}=\frac{4\pi abc}{3}.$$

(2)

8頂点は $(\pm x,\pm y,\pm z)$ であり、各辺の長さは $2x,2y,2z$ である。したがって

$$V_c=(2x)(2y)(2z)=8xyz.$$

(3)

制約を $g=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0$ とおき、

$$f(x,y,z,\lambda)=8xyz-\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$$

とすればよい。停留条件は

$$8yz-\frac{2\lambda x}{a^2}=0,\quad 8xz-\frac{2\lambda y}{b^2}=0,\quad 8xy-\frac{2\lambda z}{c^2}=0,\quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

(4)

最初の3式にそれぞれ $x,y,z$ を掛けると積の項はいずれも $8xyz$ になる。よって

$$\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac13.$$

正の象限では $x=a/\sqrt3$ , $y=b/\sqrt3$ , $z=c/\sqrt3$ である。 $xyz=0$ となる境界では体積は0で、上の内点では正なので、これが大域的最大値を与える。したがって

$$V_{c\max}=8\frac{a}{\sqrt3}\frac{b}{\sqrt3}\frac{c}{\sqrt3}=\frac{8abc}{3\sqrt3}.$$

(5)

$$\frac{V_{c\max}}{V_e}=\frac{8abc}{3\sqrt3}\frac{3}{4\pi abc}=\frac{2}{\pi\sqrt3}=0.367552\ldots$$

ゆえに、有効数字3桁では

$$\boxed{\frac{V_{c\max}}{V_e}=0.368}.$$