東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 微分方程

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• TITech
• Initial-Value-Problem
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

1. 以下の常微分方程式の厳密解を求めよ．虚数を使わずに表すこと．

(1) $f''(t) - f'(t) - 6f(t) = 0, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 2$

(2) $f''(t) - 4f'(t) + 4f(t) = e^{2t}, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 3$

(3) $f''(t) + 9f(t) = 6 \cos 3t, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 3$

题目描述

求下列三个常微分方程初值问题的精确解，答案不得使用虚数：

1. 求解初值问题：

   $$f''(t)-f'(t)-6f(t)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=2.$$

2. 求解初值问题：

   $$f''(t)-4f'(t)+4f(t)=e^{2t},\qquad f(0)=0,\qquad f'(0)=3.$$

3. 求解初值问题：

   $$f''(t)+9f(t)=6\cos 3t,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=3.$$

Kai

1.

(1)

特性方程式は

$$r^2-r-6=(r-3)(r+2)=0$$

なので、 $f=C_1e^{3t}+C_2e^{-2t}$ である。初期条件は

$$C_1+C_2=1,\qquad 3C_1-2C_2=2$$

を与える。したがって $C_1=4/5,\ C_2=1/5$ であり、

$$\boxed{f(t)=\frac45e^{3t}+\frac15e^{-2t}}$$

である。

(2)

左辺は $(D-2)^2f$ である。 $f=e^{2t}g(t)$ とおけば

$$(D-2)^2f=e^{2t}g''=e^{2t},$$

したがって $g''=1$ である。よって $g=t^2/2+C_1t+C_2$ である。 $f(0)=0$ より $C_2=0$ 、また $f'=e^{2t}(2g+g')$ と $f'(0)=3$ より $C_1=3$ である。ゆえに

$$\boxed{f(t)=e^{2t}\left(3t+\frac{t^2}{2}\right)}$$

となる。

(3)

同次解は $C_1\cos3t+C_2\sin3t$ である。右辺が固有振動数と共振するため、特解を $f_p=At\sin3t$ とおく。このとき

$$f_p''+9f_p=6A\cos3t$$

なので $A=1$ である。したがって

$$f=C_1\cos3t+C_2\sin3t+t\sin3t.$$

$f(0)=1$ より $C_1=1$ 、 $f'(0)=3$ より $3C_2=3$ 、すなわち $C_2=1$ である。よって

$$\boxed{f(t)=\cos3t+\sin3t+t\sin3t}$$

である。各結果は実数だけで表され、直接微分して代入すると方程式と初期条件の双方を満たす。