東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 微积分 Author 思齐塾 , 祭音Myyura
Description
Consider the curved surface of an ellipsoidal body x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 ( a > b > c > 0 ) \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a > b > c > 0) a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 ( a > b > c > 0 )
(1) Obtain the volume of the ellipsoidal body V e V_e V e
(2) Find the volume of the cuboid V c V_c V c ( x , y , z ) (x, y, z) ( x , y , z )
(3) In order to obtain the maximum value of (2), by introducing Lagrange's undetermined multiplier λ \lambda λ f ( x , y , z , λ ) f(x, y, z, \lambda) f ( x , y , z , λ )
∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = ∂ f ∂ z = ∂ f ∂ λ = 0. \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial \lambda} = 0. ∂ x ∂ f = ∂ y ∂ f = ∂ z ∂ f = ∂ λ ∂ f = 0. (4) By solving the equations in (3), obtain the maximum volume of the cuboid V c max V_{c\text{max}} V c max
(5) Compute the maximum volume ratio of the cuboid to the ellipsoidal body V c max V e \frac{V_{c\text{max}}}{V_e} V e V c max
题目描述
考虑椭球面
x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , a > b > c > 0 , \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,
\qquad a>b>c>0, a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 , a > b > c > 0 , 以及一个所有顶点均位于该椭球面上的内接长方体。回答下列问题。
求椭球体的体积 V e V_e V e
若长方体位于第一卦限的一个顶点为 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) x , y , z x,y,z x , y , z V c V_c V c
为求第 2 问所得体积的最大值，引入拉格朗日乘数 λ \lambda λ f ( x , y , z , λ ) f(x,y,z,\lambda) f ( x , y , z , λ )
∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y = ∂ f ∂ z = ∂ f ∂ λ = 0 \frac{\partial f}{\partial x}
=\frac{\partial f}{\partial y}
=\frac{\partial f}{\partial z}
=\frac{\partial f}{\partial\lambda}
=0 ∂ x ∂ f = ∂ y ∂ f = ∂ z ∂ f = ∂ λ ∂ f = 0 确定。
解第 3 问得到的方程组，求长方体体积的最大值 V c m a x V_{c\mathrm{max}} V c max
计算最大长方体体积与椭球体体积之比
V c m a x V e , \frac{V_{c\mathrm{max}}}{V_e}, V e V c max , 结果保留三位有效数字。
Kai (1)
変数変換
x = a X , y = b Y , z = c Z x=aX,\qquad y=bY,\qquad z=cZ x = a X , y = bY , z = c Z によって楕円体は単位球 X 2 + Y 2 + Z 2 ≤ 1 X^2+Y^2+Z^2\le1 X 2 + Y 2 + Z 2 ≤ 1 a b c abc ab c
V e = a b c ⋅ 4 π 3 = 4 π a b c 3 \boxed{V_e=abc\cdot\frac{4\pi}{3}=\frac{4\pi abc}{3}} V e = ab c ⋅ 3 4 π = 3 4 πab c である。
(2)
第1八分象限の頂点が ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) 2 x , 2 y , 2 z 2x,2y,2z 2 x , 2 y , 2 z
V c = ( 2 x ) ( 2 y ) ( 2 z ) = 8 x y z \boxed{V_c=(2x)(2y)(2z)=8xyz} V c = ( 2 x ) ( 2 y ) ( 2 z ) = 8 x yz であり、制約は
x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , x , y , z > 0 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\qquad x,y,z>0 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 , x , y , z > 0 である。
(3)
例えばLagrange関数を
f ( x , y , z , λ ) = 8 x y z − λ ( x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 − 1 ) \boxed{f(x,y,z,\lambda)=8xyz-\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)} f ( x , y , z , λ ) = 8 x yz − λ ( a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 − 1 ) と取ればよい。停留条件は
8 y z − 2 λ x a 2 = 0 , 8 x z − 2 λ y b 2 = 0 , 8 x y − 2 λ z c 2 = 0 , x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 − 1 = 0. \begin{aligned}
8yz-\frac{2\lambda x}{a^2}&=0,\\
8xz-\frac{2\lambda y}{b^2}&=0,\\
8xy-\frac{2\lambda z}{c^2}&=0,\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1&=0.
\end{aligned} 8 yz − a 2 2 λ x 8 x z − b 2 2 λ y 8 x y − c 2 2 λ z a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 − 1 = 0 , = 0 , = 0 , = 0. (4)
最初の3式にそれぞれ x , y , z x,y,z x , y , z 8 x y z 8xyz 8 x yz
x 2 a 2 = y 2 b 2 = z 2 c 2 . \frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}. a 2 x 2 = b 2 y 2 = c 2 z 2 . 制約式と x , y , z > 0 x,y,z>0 x , y , z > 0
x = a 3 , y = b 3 , z = c 3 . x=\frac{a}{\sqrt3},\qquad y=\frac{b}{\sqrt3},\qquad z=\frac{c}{\sqrt3}. x = 3 a , y = 3 b , z = 3 c . 境界では x y z = 0 xyz=0 x yz = 0
V c max = 8 a 3 b 3 c 3 = 8 a b c 3 3 \boxed{V_{c\max}=8\frac{a}{\sqrt3}\frac{b}{\sqrt3}\frac{c}{\sqrt3}=\frac{8abc}{3\sqrt3}} V c m a x = 8 3 a 3 b 3 c = 3 3 8 ab c である。
(5)
V c max V e = 8 a b c / ( 3 3 ) 4 π a b c / 3 = 2 π 3 = 0.367552 … \frac{V_{c\max}}{V_e}
=\frac{8abc/(3\sqrt3)}{4\pi abc/3}
=\frac{2}{\pi\sqrt3}
=0.367552\ldots V e V c m a x = 4 πab c /3 8 ab c / ( 3 3 ) = π 3 2 = 0.367552 … したがって3桁の有効数字で
V c max V e = 0.368 \boxed{\frac{V_{c\max}}{V_e}=0.368} V e V c m a x = 0.368 である。