東京工業大学 工学院 システム制御系 2021年8月実施 問題3

标签：

• TITech
• Moment-Generating-Function
• Poisson-Distribution
• Geometric-Distribution
• Moment-Generating-Function-of-Sum-of-Independent-Variables

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。以下随机变量定义、概率质量函数和矩母函数均可由 Kai 唯一确认；各问原始文字没有留存。

1. 对随机变量 $S$，从方差定义证明

   $$\sigma_S^2 =E[(S-E[S])^2] =E[S^2]-(E[S])^2.$$

2. 设 $X$ 的矩母函数为 Poisson 形式

   $$M_X(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}.$$

   通过 $M_X'(0)$、$M_X''(0)$ 求 $E[X]$ 和 $V(X)$。

3. 随机变量 $Y$ 取 $1,2,\ldots$，概率质量函数为

   $$P(Y=y)=(1-q)q^{y-1}.$$

   求其矩母函数 $M_Y(t)$；相应级数收敛时需有 $qe^t<1$。

4. 若 $X,Y$ 相互独立且

   $$Z=X+Y,$$

   证明

   $$M_Z(t)=M_X(t)M_Y(t).$$

5. 现给定

   $$M_X(t)=e^t\exp(e^t-1), \qquad M_Y(t)=\frac{e^t}{2-e^t}, \qquad Z=X+Y,$$

   且 $X,Y$ 独立。

   1. 求 $M_Z(t)$；
   2. 求 $M_Z'(t)$；
   3. 由 $M_Z'(0)$ 求 $\mu_Z=E[Z]$。

Kai

問1

$$\begin{aligned} \sigma_S^2 &= E \left[ \left( S - E[S] \right)^2 \right] \\ &= E \left[ S^2 - 2E[S]S + \left( E[S] \right)^2 \right] \\ &= E \left[ S^2 \right] - 2 \left( E[S] \right)^2 + \left( E[S] \right)^2 \\ &= E \left[ S^2 \right] - \left( E[S] \right)^2 \end{aligned}$$

問2

$$\begin{aligned} \frac{dM_X(t)}{dt} &= \lambda e^t \exp \left( \lambda (e^t-1) \right) \\ \frac{d^2 M_X(t)}{dt^2} &= \lambda e^t \left(\lambda e^t + 1 \right) \exp \left( \lambda (e^t-1) \right) \end{aligned} より、 \begin{aligned} \mu_X &= \frac{dM_X(0)}{dt} \\ &= \lambda \\ E \left[ X^2 \right] &= \frac{d^2 M_X(0)}{dt^2} \\ &= \lambda (\lambda + 1) \\ \sigma_X^2 &= E \left[ X^2 \right] - \mu_X^2 \\ &= \lambda \end{aligned}$$

を得る。

問3

$$\begin{aligned} M_Y(t) &= \sum_{y=1}^\infty e^{yt} \cdot (1-q) q^{y-1} \\ &= \frac{1-q}{q} \sum_{y=1}^\infty \left( q e^t \right)^y \\ &= \frac{1-q}{q} \cdot q e^t \cdot \frac{1}{1-qe^t} \\ &= \frac{(1-q)e^t}{1-qe^t} \end{aligned}$$

問4

$X,Y$ が独立なので $E[XY]=E[X]E[Y]$ が成り立つことを考慮して、

$$\begin{aligned} M_Z(t) &= E \left[ e^{tZ} \right] \\ &= E \left[ e^{t(X+Y)} \right] \\ &= E \left[ e^{tX} e^{tY} \right] \\ &= E \left[ e^{tX} \right] E \left[ e^{tY} \right] \\ &= M_X(t) M_Y(t) \end{aligned}$$

を得る。

問5

(1)

$$\begin{aligned} M_Z(t) &= M_X(t) M_Y(t) \\ &= e^t \exp \left( e^t-1 \right) \cdot \frac{e^t}{2-e^t} \\ &= \frac{\exp \left( e^t-1 \right)}{2e^{-t}-1} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \frac{dM_Z(t)}{dt} &= \frac{\exp \left( e^t-1 \right) \left( 2 - e^t + 2e^{-t} \right)}{\left( 2e^{-t}-1 \right)^2} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \mu_Z &= \left. \frac{dM_Z(t)}{dt} \right|_{t=0} \\ &= 3 \end{aligned}$$