東京工業大学工学院システム制御系 2021年8月実施問題1

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题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 的第 3 问也为空；第 2 问没有保留积分路的具体几何形状，只能确认其正向包围所计算的极点。

$x \to 0$ のとき、オーダー記法を使って、

\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + O(x^5) \\ e^{-x} &= 1 - x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + O(x^5) \\ \sin x &= x - \frac{1}{6} x^3 + O(x^5) \end{aligned}

なので、

\begin{aligned} e^x + e^{-x} - x^2 - 2 &= \frac{1}{12} x^4 + O(x^5) \\ \sin^2 x - x^2 &= -\frac{1}{3} x^4 + O(x^5) \end{aligned}

であり、

\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - x^2 - 2}{\sin^2 x - x^2} = -\frac{1}{4} \end{aligned}

を得る。

被積分関数の1位の極 $z= \pi i$ における留数は、

\begin{aligned} \lim_{z \to \pi i} (z - \pi i) \cdot \frac{\cosh \frac{z}{4}}{z - \pi i} = \cosh \frac{\pi i}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}

なので、留数定理より、

\begin{aligned} \oint \frac{\cosh \frac{z}{4}}{z - \pi i} dz &= 2 \pi i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} \pi i \end{aligned}

がわかる。

被積分関数の3位の極 $z=-i$ における留数は、

\begin{aligned} \frac{1}{2!} \lim_{z \to -i} \frac{d^2}{dz^2} (z+i)^3 \cdot \frac{e^{2z}}{(z+i)^3} = 2 e^{-2i} \end{aligned}

なので、留数定理より、

\begin{aligned} \oint \frac{e^{2z}}{(z+i)^3} dz &= 2 \pi i \cdot 2 e^{-2i} \\ &= 4 \pi i e^{-2i} \end{aligned}

がわかる。