東京工業大学 工学院 システム制御系 2021年8月実施 問題1

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Author

Miyake

Description

Kai

問1

$x \to 0$ のとき、オーダー記法を使って、

$$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + O(x^5) \\ e^{-x} &= 1 - x + \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{6} x^3 + \frac{1}{24} x^4 + O(x^5) \\ \sin x &= x - \frac{1}{6} x^3 + O(x^5) \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} e^x + e^{-x} - x^2 - 2 &= \frac{1}{12} x^4 + O(x^5) \\ \sin^2 x - x^2 &= -\frac{1}{3} x^4 + O(x^5) \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - x^2 - 2}{\sin^2 x - x^2} = -\frac{1}{4} \end{aligned}$$

を得る。

問2

(1)

被積分関数の1位の極 $z= \pi i$ における留数は、

$$\begin{aligned} \lim_{z \to \pi i} (z - \pi i) \cdot \frac{\cosh \frac{z}{4}}{z - \pi i} = \cosh \frac{\pi i}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

なので、留数定理より、

$$\begin{aligned} \oint \frac{\cosh \frac{z}{4}}{z - \pi i} dz &= 2 \pi i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \sqrt{2} \pi i \end{aligned}$$

がわかる。

(2)

被積分関数の3位の極 $z=-i$ における留数は、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2!} \lim_{z \to -i} \frac{d^2}{dz^2} (z+i)^3 \cdot \frac{e^{2z}}{(z+i)^3} = 2 e^{-2i} \end{aligned}$$

なので、留数定理より、

$$\begin{aligned} \oint \frac{e^{2z}}{(z+i)^3} dz &= 2 \pi i \cdot 2 e^{-2i} \\ &= 4 \pi i e^{-2i} \end{aligned}$$

がわかる。

問3