東京工業大学 工学院 機械系 2021年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

Author

Miyake

Description

Kai

問1

(1)

ドーナツ（トーラス体・円環体）の体積・表面積を2通りの方法で計算 の定理1で、 を にすればよいので、求める体積は、

である。

(2)

とおくと、

となり、

したがって、

を得る。 ここで は積分定数である。

問2

(1)

の固有値を とすると、

である。 固有値 に属する固有ベクトルを求めるために、

とおくと、 なので、正規化された固有ベクトルは、例えば、

である。 固有値 に属する固有ベクトルを求めるために、

とおくと、 なので、正規化された固有ベクトルは、例えば、

である。

(2)

(1)で求めた固有ベクトルを使って、

とすると、

なので、

を得る。

問3

(1)

(2)

のマクローリン展開が であることを考慮すると、 与えられた関数は で2位の極をもつことがわかり、その留数は次のように計算できる：

問4

(1)

まず、

である。 のときは、

であり、 のときは、

なので、

である。

(2)

より、

である。