東京工業大学 工学院 機械系 2021年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

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Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 的若干行存在内部不一致：第 1(1) 问未保留立体图形定义；第 1(2) 问写明 $u=x+y$ 却在最终回代中使用了不相符的符号。因此这些部分只陈述可确认边界，不反推原题。

1. 第 1 问：

   1. Kai 只说明原题是一个环面型立体的体积问题，并把某定理中的两个半径参数替换为

      $$r=a,\qquad R=\frac b{\sqrt2},$$

      最终记录体积为

      $$\pi^2a^2b^2.$$

      原立体的方程、旋转轴和积分区域均没有留存，且 Kai 中所写代入与通常环面体积公式并不自洽，故不能唯一恢复题面。

   2. Kai 保留代换

      $$u=x+y,\qquad \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=1+\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =1+u^2,$$

      并得到 $u=\tan(x+C)$；但其最终写成

      $$y=x+\tan(x+C),$$

      与 $u=x+y$ 的回代符号不一致。原微分方程因此无法可靠唯一恢复。

2. 给定

   $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}.$$
   1. 求 $A$ 的特征值及各自一个归一化特征向量。
   2. 用正交对角化求正整数 $n$ 时的 $A^n$。

3. 复分析：

   1. 在 $|z|<1$ 内把

      $$\frac1{1+z}$$

      展开为幂级数。

   2. 求

      $$\frac1{z(e^z-1)}$$

      在二阶极点 $z=0$ 处的留数。

4. 设 $p(x)$ 为周期 $2$ 的矩形脉冲，在一个周期 $[-1,1]$ 内满足

   $$p(x)= \begin{cases} 1,&-\frac12\leq x\leq\frac12,\\ 0,&\text{其余位置}. \end{cases}$$

   其复 Fourier 系数采用题中归一化

   $$c_n=\int_{-1}^1p(x)e^{-in\pi x}\,\mathrm dx.$$

   1. 求一般的 $c_n$，并特别求 $c_0,c_1,c_2,c_3$。

   2. 令 $q(x)$ 为保留 $n=-3,\ldots,3$ 的相应 Fourier 部分和，写出其余弦形式，并求

      $$\int_0^2q(x)^2\,\mathrm dx.$$

      Kai 的复指数展开末项重复写成 $e^{-3i\pi x}$，但其下一行余弦式唯一表明应为共轭的 $\pm3$ 次项。

Kai

問1

(1)

ドーナツ（トーラス体・円環体）の体積・表面積を2通りの方法で計算 の定理1で、 $r,R$ を $a, b/\sqrt{2}$ にすればよいので、求める体積は、

$$\begin{aligned} 2 \pi^2 a^2 \left( \frac{b}{\sqrt{2}} \right)^2 = \pi^2 a^2 b^2 \end{aligned}$$

である。

(2)

$u=x+y$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{du}{dx} &= 1 + \frac{dy}{dx} \\ &= 1 + u^2 \end{aligned}$$

となり、

$$\begin{aligned} \frac{du}{1+u^2} &= dx \\ \arctan u &= x + C \\ u &= \tan (x+C) \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} y &= x + \tan (x+C) \end{aligned}$$

を得る。 ここで $C$ は積分定数である。

問2

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 3) \\ \therefore \ \ \lambda &= 1, 3 \end{aligned}$$

である。 固有値 $1$ に属する固有ベクトルを求めるために、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $x+y=0$ なので、正規化された固有ベクトルは、例えば、

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 固有値 $3$ に属する固有ベクトルを求めるために、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $x=y$ なので、正規化された固有ベクトルは、例えば、

$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(2)

(1)で求めた固有ベクトルを使って、

$$\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすると、

$$\begin{aligned} P^{-1} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ P^{-1} AP &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} A^n &= P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+3^n & -1+3^n \\ -1+3^n & 1+3^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。

問3

(1)

$$\begin{aligned} \frac{1}{1+z} &= \frac{1}{1-(-z)} \\ &= \sum_{n=0}^\infty (-z)^n \\ &= 1 -z + z^2 - z^3 + z^4 - \cdots \end{aligned}$$

(2)

$e^z$ のマクローリン展開が $e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + \cdots$ であることを考慮すると、 与えられた関数は $z=0$ で2位の極をもつことがわかり、その留数は次のように計算できる：

$$\begin{aligned} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} z^2 \cdot \frac{1}{z \left( e^z - 1 \right) } &= \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \frac{z}{e^z - 1} \\ &= \lim_{z \to 0} \frac{\left( e^z - 1 \right) - z e^z}{\left( e^z - 1 \right)^2} \\ &= \lim_{z \to 0} \frac{\left( z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \right) - z \left( 1 + z + \cdots \right)} {\left( z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \right)^2} \\ &= \lim_{z \to 0} \frac{- \frac{1}{2} z^2 + \cdots}{z^2 + \cdots} \\ &= - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

問4

(1)

まず、

$$\begin{aligned} c_n &= \int_{-1}^1 p(x) e^{-in \pi x} dx \\ &= \int_{-1/2}^{1/2} e^{-in \pi x} dx \\ &= 2 \int_0^{1/2} \cos (n \pi x) dx \end{aligned}$$

である。 $n=0$ のときは、

$$\begin{aligned} c_0 &= 2 \int_0^{1/2} dx \\ &= 1 \end{aligned}$$

であり、 $n \ne 0$ のときは、

$$\begin{aligned} c_n &= \frac{2}{n \pi} \left[ \sin (n \pi x) \right]_0^{1/2} \\ &= \frac{2}{n \pi} \sin \frac{n \pi}{2} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} c_1 &= \frac{2}{\pi} \\ c_2 &= 0 \\ c_3 &= - \frac{2}{3 \pi} \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} q(x) &= - \frac{2}{3 \pi} e^{-3i \pi x} + \frac{2}{\pi} e^{-i \pi x} + 1 + \frac{2}{\pi} e^{i \pi x} - \frac{2}{3 \pi} e^{-3i \pi x} \\ &= 1 + \frac{4}{\pi} \cos (\pi x) - \frac{4}{3 \pi} \cos (3 \pi x) \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \int_0^2 \left\{ q(x) \right\}^2 dx &= 2 + \frac{160}{9 \pi^2} \end{aligned}$$

である。