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東京工業大学 工学院 機械系 2019年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 足以恢复多数公式，但第 1 问两种解法各自指定的方法，以及第 3 问第 (2) 小问的题意均未留存。

  1. 解初值问题

    y′′−2y′+3y=0,y(0)=3,y′(0)=1.y''-2y'+3y=0,\qquad y(0)=3,\qquad y'(0)=1.

    Kai 分为 (1)、(2) 两小问：(1) 仅留有指向该初值问题的外部计算链接，(2) 用特征方程完整求解。原题是否要求用两种指定方法求同一方程，无法从允许材料确认。

  2. 向量分析与线积分：

    1. 给定

      A=(xy2, 2y2z, 3yz2),f(x,y,z)=xy2z.\boldsymbol A =(xy^2,\,2y^2z,\,3yz^2), \qquad f(x,y,z)=xy^2z.

      依次计算：

      1. ∇⋅A\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A；
      2. A⋅∇f\boldsymbol A\cdot\boldsymbol\nabla f；
      3. ∇⋅(∇f)\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla f)。

    2. 曲线 CC 参数化为

      x(t)=cos⁡t,y(t)=sin⁡t,z(t)=t,0≤t≤π2.x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq\frac\pi2.

      计算标量线积分

      ∫C(x dx+2y dy+z2 dz).\int_C(x\,\mathrm dx+2y\,\mathrm dy+z^2\,\mathrm dz).

  3. 复数：

    1. 求方程

      z4=−1z^4=-1

      的全部四个复根。

    2. Kai 仅保留答案 π/2\pi/\sqrt2，未保留被求对象、条件或推导，无法恢复本小问题意。

考点​

  • 二阶线性初值问题：由特征方程的共轭复根写出通解，并用 y(0),y′(0)y(0),y'(0) 确定常数。
  • 向量微分算子：对给定向量场和标量场直接计算散度、梯度、方向导数组合与 Laplacian。
  • 标量线积分：代入曲线参数及其微分，把三维路径积分化为单变量定积分。
  • 复数开方：用极形式和 De Moivre 公式列出 −1-1 的全部四次方根。
  • 缺失题面边界：第 3(2) 只有数值答案，无法据此严格筛选更多考点。

Kai​

問1​

(1)​

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27%27-2y%27%2B3y%3D0%2C+y%280%29%3D3%2C+y%27%280%29%3D1&lang=ja

(2)​

与えられた微分方程式に y=eλxy = e^{\lambda x} を代入すると、

λ2−2λ+3=0∴  λ=1±2i\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 3 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm \sqrt{2} i \end{aligned}

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を A,BA,B として、

y=ex(Asin⁡2x+Bcos⁡2x)\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin \sqrt{2} x + B \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}

である。 x=0x=0 のとき、 y=3y=3 から B=3B=3 がわかり、 dy/dx=1dy/dx=1 から A=−2A = - \sqrt{2} がわかる。 つまり、求める解は、

y=ex(−2sin⁡2x+3cos⁡2x)\begin{aligned} y = e^x \left( - \sqrt{2} \sin \sqrt{2} x + 3 \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}

である。

問2​

(1)​

(i)​
∇⋅A=y2+4yz+6yz=y2+10yz \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= y^2 + 4yz + 6yz \\ &= y^2 + 10yz \end{aligned}
(ii)​
∇f=(y2z,2xyz,xy2)∴  A⋅∇f=xy4z+4xy3z2+3xy3z2=xy4z+7xy3z2 \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} f &= \left( y^2 z, 2xyz, xy^2 \right) \\ \therefore \ \ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\nabla} f &= xy^4z + 4xy^3z^2 + 3xy^3z^2 \\ &= xy^4z + 7xy^3z^2 \end{aligned}
(iii)​
∇⋅(∇f)=0+2xz+0=2xz \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} f \right) &= 0 + 2xz + 0 \\ &= 2xz \end{aligned}

(2)​

曲線 C に関して、

dx(t)dt=−sin⁡t,  dy(t)dt=cos⁡t,  dz(t)dt=1\begin{aligned} \frac{dx(t)}{dt} = - \sin t , \ \ \frac{dy(t)}{dt} = \cos t , \ \ \frac{dz(t)}{dt} = 1 \end{aligned}

なので、

∫C(xdx+2ydy+z2dz)=∫0π/2(cos⁡t⋅(−sin⁡t)+2sin⁡tcos⁡t+t2)dt=∫0π/2(sin⁡tcos⁡t+t2)dt=∫0π/2(12sin⁡2t+t2)dt=[−14cos⁡2t+t33]0π/2=12+π324\begin{aligned} \int_C \left( xdx + 2ydy + z^2 dz \right) &= \int_0^{\pi/2} \left( \cos t \cdot (- \sin t) + 2 \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} \sin 2t + t^2 \right) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2t + \frac{t^3}{3} \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{\pi^3}{24} \end{aligned}

問3​

(1)​

求める複素数の絶対値を rr ，偏角を θ\theta とすると、 r=1r=1 であり、 θ\theta は整数 nn を使って、

4θ=π+2nπ\begin{aligned} 4 \theta &= \pi + 2n \pi \end{aligned}

と書ける。 よって、求める複素数は、

1+i2,  −1+i2,  −1−i2,  1−i2\begin{aligned} \frac{1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1-i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{aligned}

である。

(2)​

π2 \begin{aligned} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \end{aligned}
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