東京工業大学 工学院 機械系 2019年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

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• TITech
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Initial-Value-Problem
• Gradient-Divergence-and-Curl
• Scalar-Line-Integral
• Complex-Roots

Author

Miyake

Description

Kai

問1

(1)

https://www.wolframalpha.com/input?i=y%27%27-2y%27%2B3y%3D0%2C+y%280%29%3D3%2C+y%27%280%29%3D1&lang=ja

(2)

与えられた微分方程式に $y = e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 3 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm \sqrt{2} i \end{aligned}$$

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を $A,B$ として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin \sqrt{2} x + B \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}$$

である。 $x=0$ のとき、 $y=3$ から $B=3$ がわかり、 $dy/dx=1$ から $A = - \sqrt{2}$ がわかる。 つまり、求める解は、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( - \sqrt{2} \sin \sqrt{2} x + 3 \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}$$

である。

問2

(1)

(i)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= y^2 + 4yz + 6yz \\ &= y^2 + 10yz \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} f &= \left( y^2 z, 2xyz, xy^2 \right) \\ \therefore \ \ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\nabla} f &= xy^4z + 4xy^3z^2 + 3xy^3z^2 \\ &= xy^4z + 7xy^3z^2 \end{aligned}$$

(iii)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} f \right) &= 0 + 2xz + 0 \\ &= 2xz \end{aligned}$$

(2)

曲線 C に関して、

$$\begin{aligned} \frac{dx(t)}{dt} = - \sin t , \ \ \frac{dy(t)}{dt} = \cos t , \ \ \frac{dz(t)}{dt} = 1 \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \int_C \left( xdx + 2ydy + z^2 dz \right) &= \int_0^{\pi/2} \left( \cos t \cdot (- \sin t) + 2 \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} \sin 2t + t^2 \right) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2t + \frac{t^3}{3} \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{\pi^3}{24} \end{aligned}$$

問3

(1)

求める複素数の絶対値を $r$ ，偏角を $\theta$ とすると、 $r=1$ であり、 $\theta$ は整数 $n$ を使って、

$$\begin{aligned} 4 \theta &= \pi + 2n \pi \end{aligned}$$

と書ける。 よって、求める複素数は、

$$\begin{aligned} \frac{1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1-i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$