東京工業大学 工学院 機械系 2018年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

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• TITech
• Gradient-Divergence-and-Curl
• Residue-Theorem
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Method-of-Undetermined-Coefficients

Author

Miyake

Description

Kai

問1

問2

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{rot} \boldsymbol{V} = (y, -2x, 0) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \ \mathrm{rot} \boldsymbol{V} &= 0 \\ \mathrm{grad} \phi &= (2axz, 2byz, ax^2+by^2) \\ \mathrm{div} \ \mathrm{grad} \phi &= 2(a+b)z \\ \therefore \ \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} &= 2(a+b)z \end{aligned}$$

なので、求める条件は $a+b=0$ である。

問3

原点のまわりで

$$\begin{aligned} e^z - 1 &= z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \\ \sin^2 z &= z^2 - \frac{2}{3} z^4 + \cdots \end{aligned}$$

とテーラー展開されるので、与えられた関数の原点は位数1の極であり、留数は $1$ である。

問4

(1)

与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 2 \lambda &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm i \end{aligned}$$

を得る。 よって、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) \end{aligned}$$

が一般解であることがわかる。

(2)

与えられた微分方程式に $y=ax^2+bx+c$ を代入すると、

$$\begin{aligned} a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 0 \end{aligned}$$

を得る。 つまり、

$$\begin{aligned} y = \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

は与えられた微分方程式の特殊解である。 さらに (1) の結果を考慮すると、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) + \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

が与えられた微分方程式の一般解であることがわかる。