東京工業大学 工学院 機械系 2018年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

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• TITech
• Gradient-Divergence-and-Curl
• Residue-Theorem
• Second-Order-Linear-Ordinary-Differential-Equation
• Method-of-Undetermined-Coefficients

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 的第 1 问也为空；第 2 问给出的向量场 $\boldsymbol V$ 没有留存，因此只能保留可唯一确认的运算结果和后续条件。

1. 第 1 问： 无可恢复内容。

2. 向量分析：

   1. 原题要求计算某向量场 $\boldsymbol V$ 的旋度；$\boldsymbol V$ 的分量无法恢复，Kai 仅保留目标结果

      $$\operatorname{rot}\boldsymbol V=(y,-2x,0).$$

   2. 设

      $$\phi(x,y,z)=ax^2z+by^2z, \qquad \boldsymbol A=\operatorname{rot}\boldsymbol V+\operatorname{grad}\phi.$$

      求使

      $$\operatorname{div}\boldsymbol A=0$$

      的 $a,b$ 条件。

3. 对复函数

   $$\frac{e^z-1}{\sin^2z},$$

   求 $z=0$ 处极点的阶数及留数。

4. 求下列二阶常系数微分方程的通解：

   1. $$y''-2y'+2y=0;$$
   2. $$y''-2y'+2y=x^2-1.$$

      第二问需先求一个二次多项式特解，再与齐次通解合并。

Kai

問1

問2

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{rot} \boldsymbol{V} = (y, -2x, 0) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \ \mathrm{rot} \boldsymbol{V} &= 0 \\ \mathrm{grad} \phi &= (2axz, 2byz, ax^2+by^2) \\ \mathrm{div} \ \mathrm{grad} \phi &= 2(a+b)z \\ \therefore \ \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} &= 2(a+b)z \end{aligned}$$

なので、求める条件は $a+b=0$ である。

問3

原点のまわりで

$$\begin{aligned} e^z - 1 &= z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \\ \sin^2 z &= z^2 - \frac{2}{3} z^4 + \cdots \end{aligned}$$

とテーラー展開されるので、与えられた関数の原点は位数1の極であり、留数は $1$ である。

問4

(1)

与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 2 \lambda &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm i \end{aligned}$$

を得る。 よって、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) \end{aligned}$$

が一般解であることがわかる。

(2)

与えられた微分方程式に $y=ax^2+bx+c$ を代入すると、

$$\begin{aligned} a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 0 \end{aligned}$$

を得る。 つまり、

$$\begin{aligned} y = \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

は与えられた微分方程式の特殊解である。 さらに (1) の結果を考慮すると、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) + \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

が与えられた微分方程式の一般解であることがわかる。