東京工業大学 工学院 経営工学系 2019年8月実施 午前 数理B

标签：

• TITech
• Markov-and-Chebyshev-Inequalities
• Binomial-Distribution

Author

Miyake

Description

题目描述

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 的第 [1] 问和第 [2] 问第 (2) 小问也完全空白，因此这两部分的题意、条件和作答要求无法恢复；以下不作猜测。

1. 第 [1] 问： 无可恢复内容。

2. 第 [2] 问：

   1. 已知对任意非负随机变量 $X$ 和 $b>0$ 有 Markov 不等式

      $$P(X\geq b)\leq\frac{E(X)}b.$$

      1. 对随机变量 $Z$ 和 $c>0$，取

         $$X=(Z-E(Z))^2,\qquad b=c,$$

         证明

         $$P\!\left((Z-E(Z))^2\geq c\right) \leq\frac{V(Z)}c.$$

      2. 使用上一结果证明 Chebyshev 不等式：对 $a>0$，

         $$P(|X-E(X)|\geq a) \leq\frac{V(X)}{a^2}.$$

   2. 第 (2) 小问： Kai 无内容，无法恢复。

   3. 设

      $$X\sim\operatorname{Bin}\left(n,\frac12\right).$$

      1. 求 $E(X)$ 与 $V(X)$。

      2. 利用前面的 Chebyshev 不等式证明

         $$P\left(X\geq\frac{3n}{4}\right) \leq\frac2n.$$

考点

• Markov 与 Chebyshev 不等式：把中心化随机变量的平方代入 Markov 不等式，推导方差控制的尾概率上界。
• 二项分布的矩：对成功概率 $1/2$ 的二项变量计算期望、方差，并利用分布关于 $n/2$ 的对称性处理单侧尾概率。

Kai

[1]

[2]

(1)

(a)

$(Z-E(Z))^2$ は非負の値をとる確率変数であるから、 与えられた不等式において、 $X=(Z-E(Z))^2, b=c$ とおくと、

$$\begin{aligned} P \left( (Z-E(Z))^2 \geq c \right) &\leq \frac{E \left( (Z-E(Z))^2 \right)}{c} \\ &= \frac{V(Z)}{c} \end{aligned}$$

を得る。

(b)

(a) で示した不等式を使って、次のように示せる：

$$\begin{aligned} P \left( | X-E(X) | \geq a \right) &= P \left( ( X-E(X) )^2 \geq a^2 \right) \\ &\leq \frac{V(X)}{a^2} \end{aligned}$$

(2)

(3)

(a)

$$\begin{aligned} E(X) &= \frac{n}{2} \\ V(X) &= \frac{n}{4} \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} P \left( X \geq \frac{3n}{4} \right) &= P \left( X - \frac{n}{2} \geq \frac{n}{4} \right) \\ &= \frac{1}{2} P \left( \left| X - \frac{n}{2} \right| \geq \frac{n}{4} \right) \\ &\leq \frac{1}{2} \frac{\frac{n}{4}}{\left( \frac{n}{4} \right)^2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( \because (1)(b) ) \\ &= \frac{2}{n} \end{aligned}$$