東京工業大学 工学院 情報通信系 2022年8月実施 线性代数

标签：

• TITech
• Quadratic-Form
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Basis-and-Dimension

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

H2. 実数を要素とする行列と列ベクトルを考える．行列 $A$ の転置を ${}^t A$ によって表す．また， $n$ 次元列ベクトル $X$ を $n$ 行 1 列の行列と同様に扱う．ただし $n$ は 2 以上の整数とする．このとき，以下の問に答えよ．

1. $S$ を $n \times n$ の実対称行列とする．任意の $n$ 次元ベクトル $X, Y$ に対して，演算 $\langle X, Y \rangle$ を

$$\langle X, Y \rangle = {}^t X S Y$$

によって定義する．

a) $\langle X, Y \rangle = \langle Y, X \rangle = 0, \langle X, X \rangle = 5, \langle Y, Y \rangle = 1$ であるとき， $\langle X - 2Y, 2X + Y \rangle$ の値を計算せよ．

b) $n = 2$ のとき，全ての非零の 2 次元ベクトル $X$ について ${}^t X S X > 0$ が成り立つ対称行列 $S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ を一つ示せ．

c) 次の括弧 c-1 から c-3 にあてはまる式を求めよ．ただし，同じ記号の括弧は同じ式を示す． $a > 0$ とするとき，対称行列 $S$ を

$$S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$$

によって定め，全ての非零の 2 次元ベクトル $X = {}^t (x, y)$ について ${}^t X S X > 0$ が成り立つための必要十分条件を求めたい．このために，まず ${}^t X S X$ を計算すると

$${}^t X S X = a \left( \text{c-1} \right)^2 + \left( \text{c-2} \right) y^2 \quad (\text{H2.1})$$

が得られる．全ての非零のベクトル $X$ についてこの式の値が正になるためには，条件 c-3 が必要になる．他方，条件 c-3 が成り立つとき，c-1 = 0 と $y = 0$ が成り立つときに限り，式 (H2.1) が零になる．この連立方程式を解くことで $(x, y) = (0, 0)$ が得られ，非零のベクトル $X$ について ${}^t X S X > 0$ であることが示される．

2. $\mathbb{R}^3$ によって 3 次元ベクトルの集合を表すとき， $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$$\{ {}^t (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + y - z = 0 \}$$

の正規直交基底を一組求めよ．ただし， $\mathbb{R}^3$ のベクトル $X = {}^t (x_1, x_2, x_3)$ とベクトル $Y = {}^t (y_1, y_2, y_3)$ との内積を ${}^t X Y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3$ によって定義する．

3. $n \times n$ の実行列全体の集合を $\mathcal{M}_n$ とし，写像 $F: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ を

$$F(A) = \frac{A + {}^t A}{2}, \quad \forall A \in \mathcal{M}_n$$

によって定義する．

a) 任意の行列 $A \in \mathcal{M}_n$ について $F(A)$ が対称行列であることを証明せよ．

b) 写像 $G: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ を

$$G(A) = A - F(A), \quad \forall A \in \mathcal{M}_n$$

によって定義する．このとき，任意の行列 $A \in \mathcal{M}_n$ について $G(A)$ が写像 $F$ の核，すなわち $\mathcal{M}_n$ の部分集合 $\{ A \in \mathcal{M}_n : F(A) = O \}$ に属することを示せ．ただし $O$ は $n \times n$ の零行列を示す．

题目描述

以下只考虑实数矩阵和实列向量，以 ${}^tA$ 表示矩阵 $A$ 的转置，并把 $n$ 维列向量视为 $n\times1$ 矩阵；其中 $n\geq2$ 为整数。回答下列问题。

1. 设 $S$ 是 $n\times n$ 实对称矩阵，对任意 $n$ 维向量 $X,Y$ 定义

   $$\langle X,Y\rangle={}^tXSY.$$

   a. 已知

   $$\langle X,Y\rangle=\langle Y,X\rangle=0,\qquad \langle X,X\rangle=5,\qquad \langle Y,Y\rangle=1,$$

   计算 $\langle X-2Y,\,2X+Y\rangle$。

   b. 当 $n=2$ 时，给出一个对称矩阵

   $$S=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix},$$

   使每个非零二维向量 $X$ 都满足 ${}^tXSX>0$。

   c. 在下述论证中填出 c-1、c-2、c-3；相同编号的空格须填同一表达式。设 $a>0$，并令

   $$S=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}.$$

   为求“对所有非零二维向量 $X={}^t(x,y)$ 均有 ${}^tXSX>0$”的充要条件，先把二次型化为

   $${}^tXSX=a(\text{c-1})^2+(\text{c-2})y^2. \tag{H2.1}$$

   要使式 (H2.1) 对所有非零 $X$ 为正，条件 c-3 是必要的；反过来，若 c-3 成立，则式 (H2.1) 仅在 c-1 $=0$ 且 $y=0$ 时为零，而解这两个方程可得 $(x,y)=(0,0)$。求出三个空格中的表达式。

2. 在 $\mathbb R^3$ 中，求子空间

   $$\left\{{}^t(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ 2x+y-z=0\right\}$$

   的一组标准正交基。这里对

   $$X={}^t(x_1,x_2,x_3),\qquad Y={}^t(y_1,y_2,y_3)$$

   采用通常内积

   $${}^tXY=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$

3. 记所有 $n\times n$ 实矩阵组成的集合为 $\mathcal M_n$，定义映射 $F:\mathcal M_n\to\mathcal M_n$：

   $$F(A)=\frac{A+{}^tA}{2},\qquad \forall A\in\mathcal M_n.$$

   a. 证明对任意 $A\in\mathcal M_n$，$F(A)$ 都是对称矩阵。

   b. 再定义映射 $G:\mathcal M_n\to\mathcal M_n$：

   $$G(A)=A-F(A),\qquad \forall A\in\mathcal M_n.$$

   证明对任意 $A\in\mathcal M_n$，$G(A)$ 都属于 $F$ 的核

   $$\ker F=\{A\in\mathcal M_n:F(A)=O\},$$

   其中 $O$ 为 $n\times n$ 零矩阵。

Kai

問題の解答と詳細な解説

(1) 対称行列と内積の性質

(a) $\langle X - 2Y, 2X + Y \rangle$ の計算

内積の線形性（分配法則とスカラー倍のくくり出し）を利用して式を展開します。

$$\langle X - 2Y, 2X + Y \rangle = \langle X, 2X + Y \rangle - 2\langle Y, 2X + Y \rangle$$

$$= \langle X, 2X \rangle + \langle X, Y \rangle - 2\langle Y, 2X \rangle - 2\langle Y, Y \rangle$$

$$= 2\langle X, X \rangle + \langle X, Y \rangle - 4\langle Y, X \rangle - 2\langle Y, Y \rangle$$

与えられた条件 $\langle X, Y \rangle = \langle Y, X \rangle = 0$ , $\langle X, X \rangle = 5$ , $\langle Y, Y \rangle = 1$ を代入します。

$$= 2(5) + 0 - 4(0) - 2(1)$$

$$= 10 - 2 = 8$$

よって、求める値は 8 です。

(b) 条件を満たす対称行列 $S$ の例

全ての非零の 2 次元ベクトル $X$ について ${}^t X S X > 0$ が成り立つ対称行列（正定値対称行列）の最も単純な例として、2 次の単位行列が挙げられます。

$$S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

このとき、 $a=1, b=0, d=1$ であり、対称行列です。 $X = {}^t(x, y)$ とすると、 ${}^t X S X = x^2 + y^2$ となります。 $X$ が零ベクトルでない（ $x \neq 0$ または $y \neq 0$ ）ならば、 $x^2 + y^2 > 0$ が常に成り立ちます。

(c) 括弧 c-1 から c-3 にあてはまる式

${}^t X S X$ を具体的に計算し、 $x$ について平方完成を行います。

$${}^t X S X = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ax + by \\ bx + dy \end{pmatrix}$$

$$= x(ax + by) + y(bx + dy) = ax^2 + 2bxy + dy^2$$

条件 $a > 0$ より、 $a$ でくくって平方完成します。

$$= a \left( x^2 + \frac{2b}{a}xy \right) + dy^2$$

$$= a \left( x + \frac{b}{a}y \right)^2 - a \left( \frac{b}{a}y \right)^2 + dy^2$$

$$= a \left( x + \frac{b}{a}y \right)^2 + \left( d - \frac{b^2}{a} \right) y^2$$

$$= a \left( x + \frac{b}{a}y \right)^2 + \frac{ad - b^2}{a} y^2$$

式 (H2.1) の形と比較すると、以下のようになります。

(c-1) $x + \frac{b}{a}y$

(c-2) $\frac{ad - b^2}{a}$ （または $d - \frac{b^2}{a}$ ）

全ての非零ベクトル $X$ についてこの式が正になるためには、第1項が $a > 0$ と $(\text{c-1})^2 \ge 0$ より 0 以上となるため、第2項の係数 $(\text{c-2})$ が正である必要があります。 すなわち $\frac{ad - b^2}{a} > 0$ です。 $a > 0$ であるため、両辺に $a$ を掛けると以下の条件が得られます。

(c-3) $ad - b^2 > 0$

(2) 部分空間の正規直交基底

与えられた部分空間 $W = \{ {}^t (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + y - z = 0 \}$ は、原点を通る平面を表します。 この平面上の互いに直交する 2 つのベクトルを見つけ、それぞれの長さを 1 に正規化します。

まず、 $W$ に属する 1 つ目のベクトル $\mathbf{w}_1$ を見つけます。 方程式 $2x + y - z = 0$ を満たす簡単な整数の組として、 $x = 1, z = 0$ とおくと $2(1) + y - 0 = 0$ より $y = -2$ となります。 よって、 $\mathbf{w}_1 = {}^t(1, -2, 0)$ とします。

次に、 $W$ に属し、かつ $\mathbf{w}_1$ に直交する 2 つ目のベクトル $\mathbf{w}_2 = {}^t(x, y, z)$ を見つけます。 以下の 2 つの条件を満たす必要があります。 条件1 ( $W$ 上にある): $2x + y - z = 0 \implies z = 2x + y$ 条件2 ( $\mathbf{w}_1$ と直交する): ${}^t \mathbf{w}_1 \mathbf{w}_2 = 1x - 2y + 0z = x - 2y = 0 \implies x = 2y$

$x = 2y$ を条件1の式に代入すると、 $z = 2(2y) + y = 5y$ となります。 $y = 1$ とおくと、 $x = 2, z = 5$ となります。 よって、 $\mathbf{w}_2 = {}^t(2, 1, 5)$ とします。

最後に、これら 2 つの直交するベクトルを正規化（長さを 1 にする）します。

$\mathbf{w}_1$ の長さ: $\| \mathbf{w}_1 \| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ $\mathbf{w}_2$ の長さ: $\| \mathbf{w}_2 \| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$

したがって、求める正規直交基底の 1 組は以下のようになります。

$\frac{1}{\sqrt{5}} {}^t(1, -2, 0), \quad \frac{1}{\sqrt{30}} {}^t(2, 1, 5)$

(3) 行列の空間上の線形写像

(a) $F(A)$ が対称行列であることの証明

ある行列が対称行列であることは、その行列の転置が元の行列と等しいこと、すなわち ${}^t(F(A)) = F(A)$ を示せばよいことになります。 転置の性質 ${}^t(X + Y) = {}^t X + {}^t Y$ および ${}^t(cX) = c{}^t X$ （ $c$ はスカラー）、 ${}^t({}^t X) = X$ を利用します。

$${}^t(F(A)) = {}^t \left( \frac{A + {}^t A}{2} \right)$$

$$= \frac{1}{2} \left( {}^t A + {}^t({}^t A) \right)$$

$$= \frac{1}{2} ( {}^t A + A )$$

$$= \frac{A + {}^t A}{2} = F(A)$$

よって、任意の行列 $A \in \mathcal{M}_n$ について $F(A)$ は対称行列であることが証明されました。（証明終）

(b) $G(A)$ が $F$ の核に属することの証明

$G(A)$ が $F$ の核に属するとは、 $F(G(A)) = O$ （零行列）となることを意味します。 まず、 $G(A)$ を展開します。

$$G(A) = A - F(A) = A - \frac{A + {}^t A}{2} = \frac{2A - A - {}^t A}{2} = \frac{A - {}^t A}{2}$$

この $G(A)$ を $F$ の定義式に代入して $F(G(A))$ を計算します。

$$F(G(A)) = \frac{G(A) + {}^t(G(A))}{2}$$

分子の第2項 ${}^t(G(A))$ を計算します。

$${}^t(G(A)) = {}^t \left( \frac{A - {}^t A}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( {}^t A - {}^t({}^t A) \right) = \frac{{}^t A - A}{2}$$

これらを $F(G(A))$ の式に戻します。

$$F(G(A)) = \frac{1}{2} \left( \frac{A - {}^t A}{2} + \frac{{}^t A - A}{2} \right)$$

$$= \frac{1}{4} ( A - {}^t A + {}^t A - A )$$

$$= \frac{1}{4} (O) = O$$

したがって、 $F(G(A)) = O$ が成り立つため、 $G(A)$ は写像 $F$ の核 $\{ A \in \mathcal{M}_n : F(A) = O \}$ に属することが示されました。（証明終）

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