東京工業大学 工学院 情報通信系 2022年8月実施 微积分

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• TITech
• Double-Integral
• Definite-Integral
• Constrained-Optimization
• Multivariable-Differentiation

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

H1. 以下の設問 1)，2) に答えよ．計算過程も示すこと．

1. 3 次元空間中の曲面 $A: 16x^2 + 4y^2 + z^2 = 16$ 上における 1 点 $(x, y, z)$ ( $x \geqq 0, y \geqq 0, z \geqq 0$ ) と原点 $O(0, 0, 0)$ を結ぶ線分を 1 本の対角線とし， $xy$ 平面， $xz$ 平面， $yz$ 平面と，それらにそれぞれ平行な 3 つの平面に囲まれる直方体の体積を $V_1$ とする．ここで $V_1$ を最大にする点の座標を求めることを考える．

a) 体積 $V_1$ を $x, y, z$ を用いて示せ．

b) 曲面 $A$ と $xy$ 平面の交線の形状を図示せよ． $x$ 軸， $y$ 軸との交点の座標も示せ．

c) 任意の微分可能な関数 $g(x, y, z), f(x, y, z)$ に対して，それらの $x, y, z$ による 1 次偏導関数をそれぞれ $g_x, g_y, g_z$ および $f_x, f_y, f_z$ とする．このとき，一般に次のことが成り立つ．条件 $g(x, y, z) = 0$ のもとで関数 $f(x, y, z)$ が $g_x \neq 0$ または $g_y \neq 0$ または $g_z \neq 0$ となる点 $P(a, b, c)$ で極値をとるならば，以下の関係を満たす定数 $\lambda$ が存在する．

$$\begin{cases} f_x(a, b, c) = \lambda g_x(a, b, c) \\ f_y(a, b, c) = \lambda g_y(a, b, c) \\ f_z(a, b, c) = \lambda g_z(a, b, c) \\ g(a, b, c) = 0 \end{cases} \quad \text{(H1.1)}$$

このとき，式 (H1.1) は，点 $P(a, b, c)$ において， $g(x, y, z) = 0$ と $f(x, y, z) = f(a, b, c)$ が表す 2 つの曲面が，幾何学的にどのような関係にあることを示すか簡潔に説明せよ．

d) 式 (H1.1) の関係を曲面 $A$ と体積 $V_1(x, y, z)$ に適用し， $V_1(x, y, z)$ が極値となる点 $P(a, b, c)$ と $\lambda$ の間に成り立つ， $a, b, c, \lambda$ を用いた 4 つの関係式を記せ．

e) 上の d) で求めた関係式により，極値となる必要条件を満たす $a, b, c, \lambda$ の値をそれぞれ求めよ．ここで，その時の体積 $V_1$ を最大値とみなし，その値を求めよ．ただし $a > 0, b > 0, c > 0$ とする．

2. 3 次元空間中の曲面 $B: z = \log_e \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right)$ ( $z \geqq 0$ ) と $xy$ 平面に囲まれる部分の体積 $V_2$ を求めることを考える．

a) 曲面 $B$ と $xy$ 平面， $xz$ 平面との交線の形状をそれぞれ図示せよ．各座標軸との交点があれば，その座標も示せ．

b) 直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, \theta)$ に変換し，曲面 $B$ と $xy$ 平面に囲まれ $x^2 + y^2 \geqq d^2$ を満たす領域の体積 $V_2'$ を $r$ と $\theta$ に対する定積分の式として示せ．ただし， $d$ は $0 < d < 1$ を満たす定数とする．

c) 上で求めた $V_2'$ の式を用いて体積 $V_2$ を求めよ．

题目描述

回答下列第 1、2 题，并写出计算过程。

1. 在三维空间的曲面

   $$A:\ 16x^2+4y^2+z^2=16$$

   上取第一卦限内的一点 $(x,y,z)$，即 $x\geq 0,\ y\geq 0,\ z\geq 0$。以该点与原点 $O(0,0,0)$ 的连线为一条体对角线，作一个由三个坐标平面以及分别与它们平行的三个平面围成的长方体，记其体积为 $V_1$。为求使 $V_1$ 最大的点的坐标，完成以下各问。

   a. 用 $x,y,z$ 表示体积 $V_1$。

   b. 画出曲面 $A$ 与 $xy$ 平面的交线，并标出它与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点坐标。

   c. 对任意可微函数 $g(x,y,z)$ 与 $f(x,y,z)$，分别以 $g_x,g_y,g_z$ 和 $f_x,f_y,f_z$ 表示它们关于 $x,y,z$ 的一阶偏导数。一般地，若在约束 $g(x,y,z)=0$ 下，函数 $f(x,y,z)$ 在点 $P(a,b,c)$ 处取得极值，且该点至少满足 $g_x\neq 0$、$g_y\neq 0$、$g_z\neq 0$ 中的一项，则存在常数 $\lambda$，使

   $$\begin{cases} f_x(a,b,c)=\lambda g_x(a,b,c),\\ f_y(a,b,c)=\lambda g_y(a,b,c),\\ f_z(a,b,c)=\lambda g_z(a,b,c),\\ g(a,b,c)=0. \end{cases} \tag{H1.1}$$

   简要说明式 (H1.1) 在几何上表示曲面 $g(x,y,z)=0$ 与等值面 $f(x,y,z)=f(a,b,c)$ 在点 $P(a,b,c)$ 处具有怎样的关系。

   d. 将式 (H1.1) 应用于曲面 $A$ 和体积函数 $V_1(x,y,z)$，写出极值点 $P(a,b,c)$ 与 $\lambda$ 应满足的四个关于 $a,b,c,\lambda$ 的关系式。

   e. 在 $a>0,\ b>0,\ c>0$ 的条件下，解出满足上述极值必要条件的 $a,b,c,\lambda$；把此时的 $V_1$ 视为最大值，并求出该最大体积。

2. 曲面

   $$B:\ z=\log_e\!\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right),\qquad z\geq 0$$

   与 $xy$ 平面围成一立体，记其体积为 $V_2$。完成以下各问。

   a. 分别画出曲面 $B$ 与 $xy$ 平面、$xz$ 平面的交线；若交线与坐标轴相交，还须标出交点坐标。

   b. 将直角坐标 $(x,y)$ 化为极坐标 $(r,\theta)$。设常数 $d$ 满足 $0<d<1$，把由曲面 $B$ 与 $xy$ 平面围成、同时满足 $x^2+y^2\geq d^2$ 的部分体积 $V_2'$ 写成关于 $r,\theta$ 的定积分。

   c. 利用上一步得到的 $V_2'$ 求总体积 $V_2$。

Kai

問題の解答と詳細な解説

1. 曲面 A 上の点と直方体の体積

a) 体積 $V_1$ を $x, y, z$ を用いて示す

直方体は、原点 $O(0, 0, 0)$ と点 $(x, y, z)$ ( $x \geqq 0, y \geqq 0, z \geqq 0$ ) を結ぶ線分を対角線とし、各座標平面に平行な面を持ちます。 各辺の長さは $x, y, z$ となるため、体積 $V_1$ はそれらの積になります。

$$V_1(x, y, z) = xyz$$

b) 曲面 A と $xy$ 平面の交線の形状と交点座標

$xy$ 平面上の点は $z = 0$ です。これを曲面 A の方程式 $16x^2 + 4y^2 + z^2 = 16$ に代入します。

$$16x^2 + 4y^2 = 16$$

両辺を 16 で割って整理します。

$$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$$

これは長軸が $y$ 軸上、短軸が $x$ 軸上にある楕円を表します。

交点の座標を求めます。 $x$ 軸との交点（ $y = 0, z = 0$ を代入）： $16x^2 = 16 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ 座標は $(1, 0, 0), (-1, 0, 0)$ です。

$y$ 軸との交点（ $x = 0, z = 0$ を代入）： $4y^2 = 16 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$ 座標は $(0, 2, 0), (0, -2, 0)$ です。

c) 式 (H1.1) の幾何学的な意味

式 (H1.1) はラグランジュの未定乗数法を表す式です。 関数 $g$ の勾配ベクトル $\nabla g = (g_x, g_y, g_z)$ は曲面 $g(x, y, z) = 0$ の法線ベクトルであり、関数 $f$ の勾配ベクトル $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ は等位曲面 $f(x, y, z) = f(a, b, c)$ の法線ベクトルです。

これらのベクトルがスカラー $\lambda$ を用いて $\nabla f = \lambda \nabla g$ と表せるということは、点 $P(a, b, c)$ において 2 つの曲面の法線ベクトルが互いに平行であることを意味します。 すなわち、幾何学的には「点 $P(a, b, c)$ において、2 つの曲面 $g(x, y, z) = 0$ と $f(x, y, z) = f(a, b, c)$ が接している」という関係を示しています。

d) 極値となる点 P と $\lambda$ の関係式

$f(x, y, z) = xyz$ $g(x, y, z) = 16x^2 + 4y^2 + z^2 - 16$ とおきます。

それぞれの 1 次偏導関数を計算します。 $f_x = yz, f_y = xz, f_z = xy$ $g_x = 32x, g_y = 8y, g_z = 2z$

点 $P(a, b, c)$ における式 (H1.1) にこれらを代入すると、以下の 4 つの関係式が得られます。

$$\begin{cases} bc = 32\lambda a \\ ac = 8\lambda b \\ ab = 2\lambda c \\ 16a^2 + 4b^2 + c^2 - 16 = 0 \end{cases}$$

e) $a, b, c, \lambda$ の値と体積 $V_1$ の最大値

条件より $a > 0, b > 0, c > 0$ です。 d) の最初の 3 つの式の両辺にそれぞれ $a, b, c$ を掛けます。

$$abc = 32\lambda a^2$$

$$abc = 8\lambda b^2$$

$$abc = 2\lambda c^2$$

$a, b, c$ がすべて正であるため $abc \neq 0$ であり、したがって $\lambda \neq 0$ です。 上の 3 式がすべて $abc$ に等しいことから、次の関係が成り立ちます。

$$32\lambda a^2 = 8\lambda b^2 = 2\lambda c^2$$

両辺を $2\lambda$ で割ります。

$$16a^2 = 4b^2 = c^2$$

これを 4 つ目の関係式 $16a^2 + 4b^2 + c^2 = 16$ に代入して $c$ を求めます。

$$c^2 + c^2 + c^2 = 16 \implies 3c^2 = 16 \implies c^2 = \frac{16}{3}$$

$c > 0$ より $c = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ です。

同様に $b, a$ を求めます。 $4b^2 = \frac{16}{3} \implies b^2 = \frac{4}{3} \implies b = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ $16a^2 = \frac{16}{3} \implies a^2 = \frac{1}{3} \implies a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\lambda$ の値は $bc = 32\lambda a$ から求めます。

$$\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right) = 32\lambda \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

$$\frac{8}{3} = \frac{32\lambda}{\sqrt{3}} \implies \lambda = \frac{8\sqrt{3}}{3 \times 32} = \frac{\sqrt{3}}{12}$$

最大体積 $V_1$ は $abc$ です。

$$V_1 = a b c = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{8 \times 3\sqrt{3}}{27} = \frac{8\sqrt{3}}{9}$$

2. 曲面 B と体積 $V_2$

a) 交線の形状と交点

・ $xy$ 平面 ( $z = 0$ ) との交線

$z = 0$ を曲面 B の方程式に代入します。

$$0 = \log_e \left( \frac{1}{x^2 + y^2} \right)$$

対数の性質より、真数が 1 のときに対数値が 0 になります。

$$\frac{1}{x^2 + y^2} = 1 \implies x^2 + y^2 = 1$$

これは原点を中心とする半径 1 の円です。 各座標軸との交点（ $x=0$ または $y=0$ ）： $x$ 軸との交点： $(1, 0, 0), (-1, 0, 0)$ $y$ 軸との交点： $(0, 1, 0), (0, -1, 0)$

・ $xz$ 平面 ( $y = 0$ ) との交線

$y = 0$ を曲面 B の方程式に代入します。

$$z = \log_e \left( \frac{1}{x^2} \right) = \log_e (x^{-2}) = -2\log_e |x|$$

条件 $z \geqq 0$ より、 $-2\log_e |x| \geqq 0 \implies \log_e |x| \leqq 0 \implies |x| \leqq 1$ です。 形状は $x=0$ ，すなわち $xz$ 平面内の $z$ 軸を漸近線 （ $x \to 0$ で $z \to \infty$ ）に持つ左右対称な曲線です。 各座標軸との交点： $x$ 軸との交点（ $z=0$ ）： $-2\log_e|x| = 0 \implies |x| = 1 \implies (1, 0, 0), (-1, 0, 0)$ $z$ 軸との交点（ $x=0$ ）：定義されないため、交点はありません。

b) 体積 $V_2'$ の極座標による定積分の式

直交座標から極座標への変換 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ を行います。 これにより $x^2 + y^2 = r^2$ となり、面積素分は $dxdy = r dr d\theta$ となります。

曲面 B の方程式は以下のように変換されます。

$$z = \log_e \left( \frac{1}{r^2} \right) = -2\log_e r$$

領域 $d^2 \leqq x^2 + y^2 \leqq 1$ は、極座標では $d \leqq r \leqq 1$ となります。角度 $\theta$ は $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ です。 したがって、体積 $V_2'$ の定積分の式は以下のようになります。

$$V_2' = \int_{0}^{2\pi} \int_{d}^{1} (-2\log_e r) r dr d\theta$$

c) 体積 $V_2$ の計算

まず $V_2'$ の積分を計算します。 $\theta$ に依存しないため、 $\theta$ の積分は $2\pi$ になります。

$$V_2' = 2\pi \int_{d}^{1} -2r \log_e r dr = -4\pi \int_{d}^{1} r \log_e r dr$$

部分積分 $\int f' g dr = fg - \int f g' dr$ を用います。 $f' = r, g = \log_e r$ とすると、 $f = \frac{r^2}{2}, g' = \frac{1}{r}$ です。

$$\int r \log_e r dr = \frac{r^2}{2} \log_e r - \int \frac{r^2}{2} \frac{1}{r} dr = \frac{r^2}{2} \log_e r - \int \frac{r}{2} dr = \frac{r^2}{2} \log_e r - \frac{r^2}{4}$$

積分区間 $[d, 1]$ で評価します。

$$V_2' = -4\pi \left[ \frac{r^2}{2} \log_e r - \frac{r^2}{4} \right]_{d}^{1}$$

$$= -4\pi \left( \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{d^2}{2} \log_e d - \frac{d^2}{4} \right) \right)$$

$$= -4\pi \left( -\frac{1}{4} - \frac{d^2}{2} \log_e d + \frac{d^2}{4} \right)$$

$$= \pi + 2\pi d^2 \log_e d - \pi d^2$$

体積 $V_2$ は、この $V_2'$ において $d \to +0$ とした極限です。

$$V_2 = \lim_{d \to +0} V_2' = \lim_{d \to +0} (\pi + 2\pi d^2 \log_e d - \pi d^2)$$

ここで、ロピタルの定理などによりよく知られた極限 $\lim_{d \to +0} d^2 \log_e d = 0$ を用います。また、 $\lim_{d \to +0} \pi d^2 = 0$ です。

$$V_2 = \pi + 0 - 0 = \pi$$

よって、求める体積 $V_2$ は $\pi$ です。

图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/东京工业大学_情报通信_2022_20260308_193542_685740.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。

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