東京工業大学 工学院 情報通信系 2020年8月実施 概率统计

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• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

問題 S1

$k$ を 1 以上の整数とし、ガウス分布に従う実数の確率変数 $X$ を考える。すなわち、 $x$ を $X$ の実現値とすると、 $X$ の確率密度関数 $p_X(x)$ は

$$p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left[ -\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2} \right] \tag{S1.1}$$

となる。ただし、 $m$ は実数の定数で平均値を表し、 $\sigma$ は正の定数で標準偏差を表すものとする。

以下の問では次の積分を用いてもよい。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\alpha x^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \tag{S1.2}$$

なお、 $\alpha$ は任意の正の実数である。

---

1. $\int_{-\infty}^{\infty} p_X(x) dx$ の値を求めよ。

2. $\langle \cdot \rangle$ は集合平均を表し、確率密度関数を用いた平均操作とする。次式で表される $\langle (X - m)^{2k-1} \rangle$ の値を求めよ。

$$\langle (X - m)^{2k-1} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} (x - m)^{2k-1} p_X(x) dx \tag{S1.3}$$

3. 式 (S1.3) を用いて、 $\langle X \rangle$ の値を求めよ。

4. 式 (S1.2) の両辺を $\alpha$ について $k$ 回微分して

$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2k} \exp(-\alpha x^2) dx = \frac{\prod_{l=1}^{k} (2l - 1)}{2^k} \pi^{\frac{1}{2}} \alpha^{-\frac{2k+1}{2}} \tag{S1.4}$$

を証明せよ。

5. 式 (S1.4) を用いて、 $\langle (X - m)^{2k} \rangle$ の値を求めよ。

6. 5. の結果を用いて、 $\langle X^2 \rangle$ の値を求めよ。

7. $\langle X^3 \rangle$ の値を求めよ。

题目描述

设 $k\geq1$ 为整数，实随机变量 $X$ 服从 Gaussian 分布，密度为

$$p_X(x) =\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right], \tag{S1.1}$$

其中 $m\in\mathbb R$ 是均值参数，$\sigma>0$ 是标准差。可以使用对任意 $\alpha>0$ 成立的积分

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}\,dx =\sqrt{\frac\pi\alpha}. \tag{S1.2}$$

符号 $\langle\cdot\rangle$ 表示按该概率密度进行的总体平均。

1. 求 $\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)\,dx$。
2. 计算奇数阶中心矩

$$\left\langle(X-m)^{2k-1}\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} (x-m)^{2k-1}p_X(x)\,dx. \tag{S1.3}$$

3. 利用 (S1.3) 求 $\langle X\rangle$。
4. 将 (S1.2) 两边关于 $\alpha$ 求导 $k$ 次，证明

$$\int_{-\infty}^{\infty}x^{2k}e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{\prod_{l=1}^k(2l-1)}{2^k} \pi^{1/2}\alpha^{-(2k+1)/2}. \tag{S1.4}$$

5. 利用 (S1.4) 求偶数阶中心矩 $\langle(X-m)^{2k}\rangle$。
6. 利用第 5 问求 $\langle X^2\rangle$。
7. 求 $\langle X^3\rangle$。

Kai

問題 S1

1)

$u=(x-m)/(\sqrt2\sigma)$ と変数変換し，式 (S1.2) を用いると

$$\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)\,dx =\frac1{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2}\,du =\boxed{1}.$$

2)

$u=x-m$ とおけば， $u^{2k-1}e^{-u^2/(2\sigma^2)}$ は奇関数であり，積分区間は原点について対称である。よって

$$\boxed{\langle(X-m)^{2k-1}\rangle=0}.$$

3)

2. で $k=1$ とすると

$$0=\langle X-m\rangle=\langle X\rangle-m,$$

したがって $\boxed{\langle X\rangle=m}$ である。

4)

式 (S1.2) の左辺を積分記号下で $k$ 回微分すると

$$\frac{d^k}{d\alpha^k}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}\,dx =(-1)^k\int_{-\infty}^{\infty}x^{2k}e^{-\alpha x^2}\,dx.$$

一方，右辺について

$$\frac{d^k}{d\alpha^k}\left(\sqrt\pi\,\alpha^{-1/2}\right) =(-1)^k\frac{\prod_{l=1}^{k}(2l-1)}{2^k}\sqrt\pi\, \alpha^{-(2k+1)/2}.$$

両辺の $(-1)^k$ を消去すれば

$$\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty}x^{2k}e^{-\alpha x^2}\,dx =\frac{\prod_{l=1}^{k}(2l-1)}{2^k}\pi^{1/2}\alpha^{-(2k+1)/2}}$$

となり，式 (S1.4) が示された。

5)

$u=x-m$ , $\alpha=1/(2\sigma^2)$ として式 (S1.4) を使うと

$$\begin{aligned} \langle(X-m)^{2k}\rangle &=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{\infty}u^{2k}e^{-u^2/(2\sigma^2)}\,du\\ &=\left(\prod_{l=1}^{k}(2l-1)\right)\sigma^{2k}. \end{aligned}$$

したがって

$$\boxed{\langle(X-m)^{2k}\rangle=(2k-1)!!\,\sigma^{2k}}.$$

6)

5. で $k=1$ とすれば $\langle(X-m)^2\rangle=\sigma^2$ である。3) の $\langle X\rangle=m$ を用いて展開すると

$$\sigma^2=\langle X^2\rangle-2m\langle X\rangle+m^2 =\langle X^2\rangle-m^2.$$

ゆえに

$$\boxed{\langle X^2\rangle=m^2+\sigma^2}.$$

7)

2. で $k=2$ とすると $\langle(X-m)^3\rangle=0$ である。展開し，3), 6) の結果を代入すると

$$0=\langle X^3\rangle-3m(m^2+\sigma^2)+3m^2m-m^3.$$

したがって

$$\boxed{\langle X^3\rangle=m^3+3m\sigma^2}.$$