東京工業大学 工学院 情報通信系 2020年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

H1. 実数 $x, y$ に対する関数 $f(x, y)$ ， $xy$ 平面における領域 $D$ を式 (H1.1)，式 (H1.2) にそれぞれ示す。また，式 (H1.3) に示すように $f(x, y)$ を領域 $D$ の範囲で積分した値を $V$ とする。以下の問に答えよ。計算過程も示すこと。

$$f(x, y) = -(x + y)^3 - (x - y)^2 + 3(x + y) + 4 \quad (\text{H1.1})$$

$$D: -2 \leqq x + y \leqq 2 \quad \text{かつ} \quad -1 \leqq x - y \leqq 1 \quad (\text{H1.2})$$

$$V = \iint_D f(x, y) \, dx \, dy \quad (\text{H1.3})$$

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1. $u = x + y, v = x - y$ と変数変換したとき， $x, y$ を $u, v$ の式でそれぞれ表せ。そして $xy$ 平面における領域 $D$ の範囲と， $uv$ 平面において $D$ に対応する領域 $D'$ の範囲をそれぞれ図示せよ。

次に，式 (H1.1) の関数 $f(x, y)$ に 1) の変数変換を施した関数を $g(u, v)$ とする。そして， $g(u, v)$ の $u, v$ による 1 次偏導関数をそれぞれ $g_u, g_v$ とし， $g(u, v)$ の $u, v$ による 2 次偏導関数をそれぞれ $g_{uu}, g_{uv}, g_{vu}, g_{vv}$ とする。

2. 式 (H1.3) を $g(u, v)$ を含む式として示し， $V$ の値を計算せよ。

3. $g_u, g_v, g_{uu}, g_{uv}, g_{vu}, g_{vv}$ をそれぞれ求めよ。

4. $g(u, v)$ が極値をとるための $g_u$ と $g_v$ に関する必要条件を示し，その必要条件を満たす $uv$ 平面上の座標 $(u, v)$ を列挙せよ。

5. 4. で求めた座標それぞれにおいて，関数 $g(u, v)$ が「極大値」「極小値」「極値とはならない」のいずれとなるか判定せよ。

6. 領域 $D$ の範囲内における，関数 $f(x, y)$ の最大値を求め，その値を与える $xy$ 平面上の座標 $(x, y)$ をすべて示せ。

图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/东京工业大学_情报通信_2022_20260112_190952_850829.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。

题目描述

对实数 $x,y$，定义

$$f(x,y)=-(x+y)^3-(x-y)^2+3(x+y)+4, \tag{H1.1}$$

平面区域

$$D:\quad -2\leq x+y\leq2,\qquad -1\leq x-y\leq1, \tag{H1.2}$$

以及

$$V=\iint_Df(x,y)\,dx\,dy. \tag{H1.3}$$

回答下列问题，并写出计算过程。

1. 作变量变换

$$u=x+y,\qquad v=x-y.$$

分别用 $u,v$ 表示 $x,y$；在 $xy$ 平面画出 $D$，并在 $uv$ 平面画出其对应区域 $D'$。

将 $f$ 变换后的函数记为 $g(u,v)$，并用 $g_u,g_v$ 以及 $g_{uu},g_{uv},g_{vu},g_{vv}$ 表示其一阶、二阶偏导数。 2. 把 (H1.3) 写成含 $g(u,v)$ 的换元积分，并计算 $V$。 3. 分别求 $g_u,g_v,g_{uu},g_{uv},g_{vu},g_{vv}$。 4. 写出 $g(u,v)$ 取得极值时关于 $g_u,g_v$ 的必要条件，并列出 $uv$ 平面上满足该条件的全部坐标。 5. 对第 4 问的每个坐标，分别判断 $g$ 在该处取得极大值、极小值，还是不构成极值。 6. 求 $f$ 在区域 $D$ 上的最大值，并列出 $xy$ 平面中使其达到最大值的所有点。

原始材料所引用的配图文件未提供；不过区域 $D$、变换后的边界条件和所有作图要求均已由题干公式完整给出。

Kai

1)

$$u=x+y,\qquad v=x-y$$

を連立して

$$\boxed{x=\frac{u+v}{2}},\qquad \boxed{y=\frac{u-v}{2}}$$

を得る。 $xy$ 平面の領域 $D$ は、直線

$$x+y=\pm2,\qquad x-y=\pm1$$

に囲まれた平行四辺形であり、その頂点は

$$\left(\frac32,\frac12\right),\quad \left(\frac12,\frac32\right),\quad \left(-\frac32,-\frac12\right),\quad \left(-\frac12,-\frac32\right)$$

である。一方、対応する $uv$ 平面の領域は

$$\boxed{D'=\{(u,v)\mid -2\le u\le2,\ -1\le v\le1\}}$$

という長方形であり、頂点は $(2,1),(2,-1),(-2,-1),(-2,1)$ である。以上の境界直線と頂点を結べば、それぞれ求める図となる。

変換後の関数は

$$\boxed{g(u,v)=-u^3-v^2+3u+4}.$$

2)

ヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{vmatrix} =-\frac12,\qquad \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac12.$$

したがって

$$\begin{aligned} V &=\frac12\int_{-2}^{2}\int_{-1}^{1}\left(-u^3-v^2+3u+4\right)\,dv\,du. \end{aligned}$$

$u$ に関する奇関数の項は対称区間で消えるため、

$$\begin{aligned} V &=\frac12\left(4\cdot4\cdot2-4\int_{-1}^{1}v^2\,dv\right)\\ &=\frac12\left(32-\frac83\right) =\boxed{\frac{44}{3}}. \end{aligned}$$

3)

$$\boxed{g_u=-3u^2+3},\qquad \boxed{g_v=-2v},\qquad \boxed{g_{uu}=-6u},\qquad \boxed{g_{uv}=g_{vu}=0},\qquad \boxed{g_{vv}=-2}.$$

4)

内点で極値をとるための必要条件は

$$\boxed{g_u=0,\qquad g_v=0}$$

である。すなわち

$$-3u^2+3=0,\qquad -2v=0$$

より、これを満たす点は

$$\boxed{(u,v)=(1,0),\ (-1,0)}.$$

5)

ヘッセ行列は

$$H=\begin{bmatrix}-6u&0\\0&-2\end{bmatrix}.$$

• $(1,0)$ では $H=\operatorname{diag}(-6,-2)$ が負定値なので、 $g$ は 極大値 $g(1,0)=6$ をとる。
• $(-1,0)$ では $\det H=6(-2)=-12<0$ なので鞍点であり、極値とはならない。

この二点の中に極小点はない。

6)

$D'$ 上で

$$g(u,v)=(-u^3+3u+4)-v^2$$

であるから、固定した $u$ に対する最大値は $v=0$ で得られる。 $u=-2,-1,1,2$ を調べると

$$\begin{array}{c|cccc} u&-2&-1&1&2\\ \hline g(u,0)&6&2&6&2 \end{array}$$

である。よって最大値は $6$ 、これを与える点は $(u,v)=(-2,0),(1,0)$ である。元の座標に戻すと

$$(u,v)=(-2,0)\longmapsto(x,y)=(-1,-1),\qquad (u,v)=(1,0)\longmapsto(x,y)=\left(\frac12,\frac12\right).$$

したがって

$$\boxed{\max_D f=6},\qquad \boxed{(x,y)=(-1,-1),\ \left(\frac12,\frac12\right)}.$$