東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 概率统计

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• TITech
• Independence-of-Random-Variables
• Expectation-and-Variance
• Cumulative-Distribution-Function-and-Probability-Density-Function

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

S1. 以下の問に答えよ．なお，各問の間で設定や記号は共有されない．

1. 下の 20 個の標本に対して，階級を $[0.3, 0.4), [0.4, 0.5), [0.5, 0.6), [0.6, 0.7), [0.7, 0.8)$ とする度数分布表とヒストグラムを書け．

   0.3652 0.7347 0.4561 0.5570 0.6015 0.4216 0.4023 0.4932 0.4738 0.4972 0.4750 0.4928 0.5798 0.5198 0.4496 0.5589 0.5601 0.5967 0.6164 0.3185

2. $n$ を 2 以上の整数とする． $n$ 個の標本に対する不偏分散と標本分散をそれぞれ $\hat{\sigma}^2$ と $s^2$ と書く． $\hat{\sigma}^2$ を $s^2$ と $n$ を用いて表せ．ただし，不偏分散は母分散の不偏推定置である．

3. $\epsilon$ を $0 \le \epsilon \le 1/2$ とし，事象 $A, B$ の確率 $P(A), P(B)$ はそれぞれ $1 - \epsilon$ 以上とする．このとき，積事象 $A \cap B$ の確率 $P(A \cap B)$ は $1 - 2\epsilon$ 以上であることを示せ．

4. 区間 $[0, 1]$ 上の一様分布に従う独立な 2 つの確率変数 $X, Y$ と， $Z = X + Y$ によって定義される確率変数 $Z$ に関して，以下の問に答えよ．

   a) $Z$ の確率密度関数 $f(z)$ を求めよ． b) $Z$ の平均値と分散を求めよ．

5. 有限集合 $\mathcal{X}$ 上で定義された確率変数 $X_1, X_2$ に関して，以下の 2 つの命題は同値であることを示せ．ただし， $P_{X_1, X_2}(x_1, x_2) \neq 0 \, (x_1, x_2 \in \mathcal{X})$ とする．

   命題 a) $x_1, x_2 \in \mathcal{X}$ に対して $P_{X_1, X_2}(x_1, x_2) = P_{X_1}(x_1)P_{X_2}(x_2)$ が成り立つ． 命題 b) $x_1 \in \mathcal{X}$ に対して $P_{X_1|X_2}(x_1|x_2)$ が $x_2$ に依存しない．

6. 非負値連続型確率変数 $W$ について，その平均値を $\mu$ とする．実数 $a > 0$ に対して，以下が成り立つことを示せ．

$$P(W \ge a) \le \frac{\mu}{a}$$

题目描述

以下六问的设定和符号彼此独立，不得跨题沿用。

1. 对下列 20 个样本，

0.3652  0.7347  0.4561  0.5570  0.6015
0.4216  0.4023  0.4932  0.4738  0.4972
0.4750  0.4928  0.5798  0.5198  0.4496
0.5589  0.5601  0.5967  0.6164  0.3185

按组距

$$[0.3,0.4),\ [0.4,0.5),\ [0.5,0.6),\ [0.6,0.7),\ [0.7,0.8)$$

制作频数分布表并画出直方图。 2. 设整数 $n\geq2$。对 $n$ 个样本，分别以 $\hat\sigma^2$、$s^2$ 表示无偏方差和样本方差，其中无偏方差是总体方差的无偏估计量。用 $s^2,n$ 表示 $\hat\sigma^2$。 3. 设 $0\leq\epsilon\leq1/2$，且事件 $A,B$ 满足

$$P(A)\geq1-\epsilon,\qquad P(B)\geq1-\epsilon.$$

证明

$$P(A\cap B)\geq1-2\epsilon.$$

4. 设 $X,Y$ 是相互独立且服从 $[0,1]$ 上均匀分布的随机变量，令 $Z=X+Y$。

   1. 求 $Z$ 的概率密度 $f(z)$。
   2. 求 $Z$ 的均值和方差。

5. 随机变量 $X_1,X_2$ 定义在有限集合 $\mathcal X$ 上，并假定

$$P_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\neq0 \qquad(x_1,x_2\in\mathcal X).$$

证明下列两个命题等价：

• 对所有 $x_1,x_2\in\mathcal X$，

  $$P_{X_1,X_2}(x_1,x_2) =P_{X_1}(x_1)P_{X_2}(x_2);$$

• 对每个 $x_1\in\mathcal X$，条件概率

  $$P_{X_1\mid X_2}(x_1\mid x_2)$$

  不依赖于 $x_2$。

6. 设非负连续随机变量 $W$ 的均值为 $\mu$。证明对每个实数 $a>0$，

$$P(W\geq a)\leq\frac{\mu}{a}.$$

Kai

S1

1)

各階級は同じ幅 $0.1$ であり，度数を数えると次の表になる。

階級	度数	相対度数
$[0.3,0.4)$	2	0.10
$[0.4,0.5)$	9	0.45
$[0.5,0.6)$	6	0.30
$[0.6,0.7)$	2	0.10
$[0.7,0.8)$	1	0.05
合計	20	1.00

度数を高さにしたヒストグラムは次のとおりである（階級幅が等しいため，相対度数または度数密度を高さにしても形は同じ）。

[0.3,0.4)  ██         2
[0.4,0.5)  █████████  9
[0.5,0.6)  ██████     6
[0.6,0.7)  ██         2
[0.7,0.8)  █          1

2)

標本平均を $\bar x$ とすると

$$s^2=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2,\qquad \hat\sigma^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2.$$

したがって

$$\boxed{\hat\sigma^2=\frac{n}{n-1}s^2}.$$

3)

$P(A^c)\le\epsilon$ , $P(B^c)\le\epsilon$ である。和事象に対する上界を用いると

$$\begin{aligned} P(A\cap B) &=1-P(A^c\cup B^c)\\ &\ge1-P(A^c)-P(B^c)\\ &\ge\boxed{1-2\epsilon}. \end{aligned}$$

4) a)

独立性から $(X,Y)$ は単位正方形上で密度1を持つ。畳み込みにより

$$f(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathbf1_{[0,1]}(x)\mathbf1_{[0,1]}(z-x)\,dx$$

だから，積分区間の長さを求めて

$$\boxed{ f(z)= \begin{cases} z,&0\le z\le1,\\ 2-z,&1<z\le2,\\ 0,&\text{それ以外}. \end{cases}}$$

4) b)

期待値と独立な変数の分散の加法性から

$$E[Z]=E[X]+E[Y]=\frac12+\frac12=\boxed{1},$$

$$\operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) =\frac1{12}+\frac1{12}=\boxed{\frac16}.$$

5)

命題 a) を仮定する。周辺確率は正なので

$$P_{X_1\mid X_2}(x_1\mid x_2) =\frac{P_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{P_{X_2}(x_2)} =P_{X_1}(x_1),$$

となり $x_2$ に依存しない。よって a) $\Rightarrow$ b) である。

逆に b) を仮定し，条件付き確率の共通値を $q(x_1)$ と書く。全確率の公式から

$$P_{X_1}(x_1)=\sum_{x_2\in\mathcal X}q(x_1)P_{X_2}(x_2)=q(x_1).$$

したがって

$$P_{X_1,X_2}(x_1,x_2) =P_{X_1\mid X_2}(x_1\mid x_2)P_{X_2}(x_2) =P_{X_1}(x_1)P_{X_2}(x_2),$$

すなわち b) $\Rightarrow$ a) である。以上より二命題は同値である。

6)

$W$ の密度を $f_W$ とすれば， $W\ge0$ より

$$\mu=\int_0^\infty w f_W(w)\,dw \ge\int_a^\infty w f_W(w)\,dw \ge a\int_a^\infty f_W(w)\,dw =aP(W\ge a).$$

$a>0$ で割って

$$\boxed{P(W\ge a)\le\frac\mu a}$$

を得る。これはマルコフの不等式である。