東京工業大学工学院情報通信系 2019年8月実施午前 H2.

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\begin{aligned} \langle X-2Y, 2X+Y \rangle &= {}^t(X-2Y) S (2X+Y) \\ &= ({}^tX - 2 \ {}^t Y) S (2X+Y) \\ &= 2 \ {}^tX SX + {}^tX SY -4 \ {}^tY SX -2 \ {}^tY SY \\ &= 8 \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

\begin{aligned} {}^t XSX &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= ax^2 + 2bxy + dy^2 \\ &= a \left( x + \frac{b}{a} y \right)^2 + \left(-\frac{b^2}{a} + d \right) y^2 \end{aligned}

条件 [c-3] は、

\begin{aligned} -\frac{b^2}{a} + d \gt 0 \end{aligned}

である。

与えられた部分空間のベクトルは、任意の実数 $x,y$ を使って、

\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 2x+y \end{pmatrix} \end{aligned}

と書けるから、この部分空間の次元は $2$ であり、

\begin{aligned} \boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

が基底となる。 $\boldsymbol{u}_2$ を正規化した

\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{u}}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

を考えると、これと直交する（与えられた部分空間に属する）ベクトル $\boldsymbol{v}_1$ を次のように作れる：

\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 - \left( {}^t \boldsymbol{u}_1 \hat{\boldsymbol{u}}_2 \right) \hat{\boldsymbol{u}}_2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

これを正規化して次を得る：

\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{v}}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

以上より、上で定義した $\hat{\boldsymbol{u}}_2, \hat{\boldsymbol{v}}_1$ は、与えられた部分空間の正規直交基底になっている。

\begin{aligned} {}^t F(A) &= {}^t \left( \frac{A + {}^t A}{2} \right) \\ &= \frac{{}^t A + {}^t \left( {}^t A \right)}{2} \\ &= \frac{{}^t A + A}{2} \\ &= F(A) \end{aligned}

\begin{aligned} G(A) &= A - F(A) \\ &= A - \frac{A + {}^t A}{2} \\ &= \frac{A - {}^t A}{2} \\ \therefore \ \ {}^tG(A) &= \frac{{}^t A - A}{2} \\ &= - G(A) \\ \therefore \ \ F \left( G(A) \right) &= \frac{G(A) + {}^t G(A)}{2} \\ &= O \end{aligned}