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東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 午前 H2.

标签：

Author​

Miyake

Description​

题目描述​

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。Kai 能恢复第 2、3 问的完整数学对象，但第 1 问给定的向量、数值及若干空格条件没有保留，不能唯一补写。

  1. 本问在 R2\mathbb R^2 上使用由实对称矩阵 SS 定义的双线性型

    ⟨X,Y⟩=XTSY.\langle X,Y\rangle=X^{\mathsf T}SY.

    Kai 可确认：

    1. 第一小问要求计算

      ⟨X−2Y, 2X+Y⟩,\langle X-2Y,\,2X+Y\rangle,

      且原题给定数据使结果为 88；但 X,Y,SX,Y,S 或各内积的具体已知值均未留存。

    2. 第二小问要求写出某个 2×22\times2 矩阵，Kai 中仅保留答案

      (1001);\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix};

      原题要求该矩阵满足什么条件无法恢复。

    3. 第三小问考虑

      S=(abbd)S=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}

      何时使 XTSXX^{\mathsf T}SX 正定。Kai 保留的配方为

      XTSX=a(x+bay)2+(d−b2a)y2,X^{\mathsf T}SX =a\left(x+\frac ba y\right)^2 +\left(d-\frac{b^2}{a}\right)y^2,

      并明确其中一个待填条件为

      d−b2a>0.d-\frac{b^2}{a}>0.

      其余空格编号和原措辞没有留存。

  2. 对子空间

    W={(xy2x+y)|x,y∈R},W= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\2x+y\end{pmatrix} \mathrel{}\middle|\mathrel{}x,y\in\mathbb R \right\},

    求 dim⁡W\dim W 和一组基，并使用 Gram–Schmidt 正交化求 WW 的一组标准正交基。

  3. 对实方阵 AA 定义

    F(A)=A+AT2,G(A)=A−F(A).F(A)=\frac{A+A^{\mathsf T}}2, \qquad G(A)=A-F(A).

    1. 证明 F(A)F(A) 是对称矩阵，即 F(A)T=F(A)F(A)^{\mathsf T}=F(A)。

    2. 证明 G(A)G(A) 是斜对称部分，并推出

      F(G(A))=O.F(G(A))=O.

Kai​

1)​

a)​

⟨X−2Y,2X+Y⟩=t(X−2Y)S(2X+Y)=(tX−2 tY)S(2X+Y)=2 tXSX+tXSY−4 tYSX−2 tYSY=8 \begin{aligned} \langle X-2Y, 2X+Y \rangle &= {}^t(X-2Y) S (2X+Y) \\ &= ({}^tX - 2 \ {}^t Y) S (2X+Y) \\ &= 2 \ {}^tX SX + {}^tX SY -4 \ {}^tY SX -2 \ {}^tY SY \\ &= 8 \end{aligned}

b)​

(1001) \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

c)​

tXSX=(xy)(abbd)(xy)=ax2+2bxy+dy2=a(x+bay)2+(−b2a+d)y2 \begin{aligned} {}^t XSX &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &= ax^2 + 2bxy + dy^2 \\ &= a \left( x + \frac{b}{a} y \right)^2 + \left(-\frac{b^2}{a} + d \right) y^2 \end{aligned}

条件 [c-3] は、

−b2a+d>0 \begin{aligned} -\frac{b^2}{a} + d \gt 0 \end{aligned}

である。

2)​

与えられた部分空間のベクトルは、任意の実数 x,yx,y を使って、

(xy2x+y)\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 2x+y \end{pmatrix} \end{aligned}

と書けるから、この部分空間の次元は 22 であり、

u1=(102),  u2=(011)\begin{aligned} \boldsymbol{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , \ \ \boldsymbol{u}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

が基底となる。 u2\boldsymbol{u}_2 を正規化した

u^2=12(011)\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{u}}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

を考えると、これと直交する（与えられた部分空間に属する）ベクトル v1\boldsymbol{v}_1 を次のように作れる：

v1=u1−(tu1u^2)u^2=(1−11)\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{u}_1 - \left( {}^t \boldsymbol{u}_1 \hat{\boldsymbol{u}}_2 \right) \hat{\boldsymbol{u}}_2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

これを正規化して次を得る：

v^1=13(1−11)\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{v}}_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

以上より、上で定義した u^2,v^1\hat{\boldsymbol{u}}_2, \hat{\boldsymbol{v}}_1 は、 与えられた部分空間の正規直交基底になっている。

3)​

a)​

tF(A)=t(A+tA2)=tA+t(tA)2=tA+A2=F(A) \begin{aligned} {}^t F(A) &= {}^t \left( \frac{A + {}^t A}{2} \right) \\ &= \frac{{}^t A + {}^t \left( {}^t A \right)}{2} \\ &= \frac{{}^t A + A}{2} \\ &= F(A) \end{aligned}

b)​

G(A)=A−F(A)=A−A+tA2=A−tA2∴  tG(A)=tA−A2=−G(A)∴  F(G(A))=G(A)+tG(A)2=O \begin{aligned} G(A) &= A - F(A) \\ &= A - \frac{A + {}^t A}{2} \\ &= \frac{A - {}^t A}{2} \\ \therefore \ \ {}^tG(A) &= \frac{{}^t A - A}{2} \\ &= - G(A) \\ \therefore \ \ F \left( G(A) \right) &= \frac{G(A) + {}^t G(A)}{2} \\ &= O \end{aligned}
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