東京工業大学 工学院 情報通信系 2018年8月実施 线性代数

标签：

• TITech
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Linear-Independence
• Basis-and-Dimension

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

H2.

$L$ 行 $M$ 列の行列 $A$ と $M$ 行 $N$ 列の行列 $B$ の積を $AB$ 、行列 $A$ の転置を $A^t$ と記す。 ベクトル $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3, \dots, v_N)^t$ を $N$ 行 1 列の行列と同等に扱い、成分（要素）が実数値を取るベクトル $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, \dots, x_N)^t$ とベクトル $\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3, \dots, y_N)^t$ の内積を行列の積を用いて $\mathbf{x}^t\mathbf{y} = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + \dots + x_Ny_N$ で定義する。このとき以下の問に答えよ。

1. 次の 3 つのベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ が線形独立（一次独立）であるか否かを示せ。線形従属（一次従属）である場合には従属の関係を式で示せ。

$$\mathbf{x} = (1, -1, 0, 1)^t, \quad \mathbf{y} = (2, 0, 1, 1)^t, \quad \mathbf{z} = (1, 1, 1, 0)^t$$

2. 1. の 3 つのベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ のすべての対についてそれぞれ直交しているかどうかを示せ。

3. 線形結合（一次結合）の係数を実数として、1) の 3 つのベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ の線形結合でできるベクトルの集合（ $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ が張る部分空間）の直交補空間の基底を求めたい。次の 2 つのベクトルがこの基底となるように $u_3, u_4, v_3, v_4$ を定めよ。

$$\mathbf{u} = (1, 0, u_3, u_4)^t, \quad \mathbf{v} = (0, 1, v_3, v_4)^t$$

4. 次の行列 $C$ について以下の問に答えよ。

$$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

a) $\mathbf{b} = C\mathbf{a}$ によって得られるベクトル $\mathbf{b}$ の成分とベクトル $\mathbf{a}$ の成分の間の関係を 50 字以内で説明せよ。 b) 5 行 5 列の単位行列を $I$ とするとき $C^N = I$ を満たす 1 以上で最小の整数 $N$ を a) の結果を利用して求めよ。 c) 行列 $C$ の固有値と固有ベクトルをすべて求めよ。なおいずれの固有ベクトルについても第 1 成分の値（ベクトルが $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^t$ の場合であれば $x_1$ の値）を 1 として残りの成分の値を求めよ。解は複素数を $re^{i\theta}$ （ここで $0 \le r, 0 \le \theta < 2\pi$ ）の形式で表して示せ。

题目描述

记 $L\times M$ 矩阵 $A$ 与 $M\times N$ 矩阵 $B$ 的乘积为 $AB$，记 $A$ 的转置为 $A^t$。把

$$\boldsymbol v=(v_1,\ldots,v_N)^t$$

视作 $N\times1$ 矩阵；对实向量 $\boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_N)^t$、$\boldsymbol y=(y_1,\ldots,y_N)^t$，定义内积

$$\boldsymbol x^t\boldsymbol y =x_1y_1+\cdots+x_Ny_N.$$

1. 判断向量

$$\boldsymbol x=(1,-1,0,1)^t,\quad \boldsymbol y=(2,0,1,1)^t,\quad \boldsymbol z=(1,1,1,0)^t$$

是否线性无关；若线性相关，写出一个明确的相关关系。 2. 对上述三个向量的每一对，分别判断是否正交。 3. 求 $\operatorname{span}\{\boldsymbol x,\boldsymbol y,\boldsymbol z\}$ 的正交补空间的一组基。要求基向量写成

$$\boldsymbol u=(1,0,u_3,u_4)^t, \qquad \boldsymbol v=(0,1,v_3,v_4)^t,$$

并确定 $u_3,u_4,v_3,v_4$。 4. 给定

$$C= \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

1. 若 $\boldsymbol b=C\boldsymbol a$，在 50 个字以内说明 $\boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a$ 各分量之间的关系。
2. 设 $I$ 为 $5\times5$ 单位矩阵，利用上一小问求满足 $C^N=I$ 的最小正整数 $N$。
3. 求 $C$ 的全部特征值和特征向量。每个特征向量的第一分量均取为 $1$，再求其余分量；复数答案须写成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r\geq0$、$0\leq\theta<2\pi$。

Kai

H2 解答

1. 線形独立・従属の判定

$$a \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} a + 2b + c = 0 \\ -a + c = 0 \\ b + c = 0 \\ a + b = 0 \end{cases}$$

存在非零解 $a=1, b=-1, c=1$ ：

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (\mathbf{y} = \mathbf{x} + \mathbf{z})$$

$$ax + by + cz = 0$$

$\therefore \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ は一次従属である。

2. 直交性の判定 各ベクトルの内積を計算する：

• $\mathbf{x}^t \mathbf{y} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3 \neq 0$
• $\mathbf{y}^t \mathbf{z} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 3 \neq 0$
• $\mathbf{x}^t \mathbf{z} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 \quad \therefore \mathbf{x}$ と $\mathbf{z}$ が直交している

$\therefore \mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ 、 $\mathbf{y}$ と $\mathbf{z}$ は直交していない。

3. 直交補空間の基底 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ の決定 直交補空間の要素を $(a, b, c, d)^t$ とすると：

$$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = 0, \quad \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = 0$$

$$\Rightarrow \begin{cases} a - b + d = 0 \\ 2a + c + d = 0 \end{cases}$$

$a = k_1, b = k_2$ とおくと：

• $d = b - a = k_2 - k_1$
• $c = -2a - d = -2k_1 - (k_2 - k_1) = -k_1 - k_2$

$$\therefore \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ -k_1 - k_2 \\ -k_1 + k_2 \end{pmatrix} = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

問題の指定形式 $\mathbf{u} = (1, 0, u_3, u_4)^t, \mathbf{v} = (0, 1, v_3, v_4)^t$ より：

• $u_3 = -1, u_4 = -1$
• $v_3 = -1, v_4 = 1$

4. 行列 $C$ に関する問い

a) ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の成分間の関係

$$\mathbf{b} = C\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \\ a_1 \end{pmatrix}$$

関係： $\mathbf{b}$ の各成分は $\mathbf{a}$ の成分を巡回的に 1 つずつ上にずらしたものである。 すなわち $b_1=a_2, b_2=a_3, b_3=a_4, b_4=a_5, b_5=a_1$ 。

b) $C^N = I$ を満たす最小の整数 $N$ 成分が 5 回の巡回で元の位置に戻るため： $N = 5$ （ $\because C^5 \mathbf{a} = I \mathbf{a}$ ）

c) 固有値と固有ベクトル 固有多項式 $|\lambda I - C| = 0$ を解く：

$$\begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^5 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^5 = 1$$

$\lambda = 1^{\frac{1}{5}} = (1 \cdot e^{i(0+2k\pi)})^{\frac{1}{5}} = e^{i\frac{2k\pi}{5}}$ 固有値 ( $k = 0, 1, 2, 3, 4$ )：

• $\lambda_1 = 1$
• $\lambda_2 = e^{i\frac{2\pi}{5}}$
• $\lambda_3 = e^{i\frac{4\pi}{5}}$
• $\lambda_4 = e^{i\frac{6\pi}{5}}$
• $\lambda_5 = e^{i\frac{8\pi}{5}}$

各固有値 $\lambda_k = e^{i\frac{2k\pi}{5}}$ に対し、 $( \lambda_k I - C ) \mathbf{a}_k = 0$ を解く。問題の指定通り、第 1 成分を 1 とした固有ベクトル $\mathbf{a}_k$ を求める。

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$\lambda_1 = 1$ の時

$$(1 \cdot I - C) \mathbf{a}_1 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

各行の式 $a_i - a_{i+1} = 0$ より、すべての成分が等しくなる。

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$\lambda_2 = e^{i\frac{2\pi}{5}}$ の時

$$(e^{i\frac{2\pi}{5}} I - C) \mathbf{a}_2 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} e^{i\frac{2\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\frac{2\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\frac{2\pi}{5}} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{2\pi}{5}} & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{2\pi}{5}} \end{pmatrix} \mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{a}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{2\pi}{5}} \\ e^{i\frac{4\pi}{5}} \\ e^{i\frac{6\pi}{5}} \\ e^{i\frac{8\pi}{5}} \end{pmatrix}$$

(手書きメモより：各成分は $a_{n} = \lambda a_{n-1}$ の関係にある)。

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$\lambda_3 = e^{i\frac{4\pi}{5}}$ の時

$$(e^{i\frac{4\pi}{5}} I - C) \mathbf{a}_3 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} e^{i\frac{4\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\frac{4\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\frac{4\pi}{5}} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{4\pi}{5}} & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{4\pi}{5}} \end{pmatrix} \mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{a}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{4\pi}{5}} \\ e^{i\frac{8\pi}{5}} \\ e^{i\frac{12\pi}{5}} \\ e^{i\frac{16\pi}{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{4\pi}{5}} \\ e^{i\frac{8\pi}{5}} \\ e^{i\frac{2\pi}{5}} \\ e^{i\frac{6\pi}{5}} \end{pmatrix}$$

(指数部分は $\pmod{2\pi}$ で整理可能)。

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$\lambda_4 = e^{i\frac{6\pi}{5}}$ の時

$$(e^{i\frac{6\pi}{5}} I - C) \mathbf{a}_4 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} e^{i\frac{6\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\frac{6\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\frac{6\pi}{5}} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{6\pi}{5}} & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{6\pi}{5}} \end{pmatrix} \mathbf{a}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{a}_4 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{6\pi}{5}} \\ e^{i\frac{12\pi}{5}} \\ e^{i\frac{18\pi}{5}} \\ e^{i\frac{24\pi}{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{6\pi}{5}} \\ e^{i\frac{2\pi}{5}} \\ e^{i\frac{8\pi}{5}} \\ e^{i\frac{4\pi}{5}} \end{pmatrix}$$

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$\lambda_5 = e^{i\frac{8\pi}{5}}$ の時

$$(e^{i\frac{8\pi}{5}} I - C) \mathbf{a}_5 = 0 \Rightarrow \begin{pmatrix} e^{i\frac{8\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{i\frac{8\pi}{5}} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e^{i\frac{8\pi}{5}} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{8\pi}{5}} & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & e^{i\frac{8\pi}{5}} \end{pmatrix} \mathbf{a}_5 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{a}_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{8\pi}{5}} \\ e^{i\frac{16\pi}{5}} \\ e^{i\frac{24\pi}{5}} \\ e^{i\frac{32\pi}{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{i\frac{8\pi}{5}} \\ e^{i\frac{6\pi}{5}} \\ e^{i\frac{4\pi}{5}} \\ e^{i\frac{2\pi}{5}} \end{pmatrix}$$

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