東京工業大学 工学院 情報通信系 2018年8月実施 微积分

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

H1

$f(t) = e^{-t} t^{a-1} (a > 0)$ を用いて定義される関数 $g(a) = \int_{0}^{\infty} f(t) dt$ と、関数 $B(p, q) = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt (p > 0, q > 0)$ について、以下の問に答えよ。

1. $g(1)$ の値を求めよ。

2. 部分積分を用いて $g(a+1)$ を式展開し、 $g(a+1)$ の値を $g(a)$ を用いて表せ。

3. $n$ を正の整数 ( $n = 1, 2, \dots$ ) とするとき、 $g(n)$ を $n$ を用いて表せ。

4. $B(p, q)$ に $t = \cos^2 \theta$ を導入して、 $B(p, q)$ を $\theta$ に関する積分で表せ。

5. $p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$ のとき、 $B(p, q)$ の値を求めよ。

6. $B(p, q) (p > 0, q > 0)$ の値を関数 $g(a)$ を用いて表現したい。以下の空欄 (ア) 〜 (エ) を適切な式で埋めよ。

$t = w^2$ を導入すると、 $g(a) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-w^2} w^{2a-1} dw$ と表現できる。 この関係式を用いると、まず、以下の式が得られる。

$$g(p)g(q) = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \text{(ア)} dx dy$$

更に、極座標変換 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta (0 \le r < \infty, 0 \le \theta \le \pi/2)$ を用いると、以下の関係が得られる。

$$g(p)g(q) = \left( 2 \int_{0}^{\infty} \text{(イ)} dr \right) \left( 2 \int_{0}^{\pi/2} \text{(ウ)} d\theta \right)$$

以上より、 $B(p, q)$ は関数 $g(a)$ を用いて以下のように表現できる。

$$B(p, q) = \text{(エ)}$$

题目描述

对 $a>0$，令

$$f(t)=e^{-t}t^{a-1}, \qquad g(a)=\int_0^\infty f(t)\,dt.$$

另对 $p>0,q>0$ 定义

$$B(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt.$$

1. 求 $g(1)$。

2. 对 $g(a+1)$ 作分部积分，并用 $g(a)$ 表示结果。

3. 当 $n=1,2,\ldots$ 为正整数时，用 $n$ 表示 $g(n)$。

4. 在 $B(p,q)$ 中作代换 $t=\cos^2\theta$，将其写成关于 $\theta$ 的积分。

5. 求 $B\!\left(\frac12,\frac12\right)$。

6. 用 $g(a)$ 表示 $B(p,q)$。请补全下列推导中的四个空格（ア）至（エ）。

   由代换 $t=w^2$，

   $$g(a)=2\int_0^\infty e^{-w^2}w^{2a-1}\,dw.$$

   因而

   $$g(p)g(q) =4\int_0^\infty\int_0^\infty \boxed{\text{ア}}\,dx\,dy.$$

   再作极坐标变换

   $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta, \qquad 0\leq r<\infty,\quad0\leq\theta\leq\frac\pi2,$$

   得

   $$g(p)g(q) = \left(2\int_0^\infty\boxed{\text{イ}}\,dr\right) \left(2\int_0^{\pi/2}\boxed{\text{ウ}}\,d\theta\right).$$

   最后写出

   $$B(p,q)=\boxed{\text{エ}}.$$

Kai

問題の解答と詳細な解説

1. $g(1)$ の値の導出

$g(a)$ の定義式に $a=1$ を代入して計算します。

$$g(1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{1-1} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt$$

これを積分すると以下のようになります。

$$g(1) = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = (0) - (-1) = 1$$

よって、 $g(1) = 1$ です。

2. 部分積分を用いた $g(a+1)$ の展開

$g(a+1)$ の定義式は以下のようになります。

$$g(a+1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{(a+1)-1} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{a} dt$$

ここで、部分積分法 $\int u v' dt = uv - \int u' v dt$ を用います。 $u = t^a, v' = e^{-t}$ とおくと、 $u' = a t^{a-1}, v = -e^{-t}$ となります。

$$g(a+1) = \left[ -e^{-t} t^a \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-t}) a t^{a-1} dt$$

第一項の $\left[ -e^{-t} t^a \right]_{0}^{\infty}$ について、 $t \to \infty$ のとき $e^{-t}$ の減衰が $t^a$ の増大よりも速いため $0$ に収束し、 $t = 0$ のときは $t^a = 0$ ( $a>0$ ) なので $0$ となります。したがって第一項は $0$ です。

$$g(a+1) = 0 + a \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{a-1} dt$$

残った積分部分は $g(a)$ の定義そのものです。よって、以下の関係が得られます。

$$g(a+1) = a g(a)$$

3. $n$ を正の整数としたときの $g(n)$ の表現

4. で得られた漸化式 $g(a+1) = a g(a)$ を繰り返し用います。

$g(n) = (n-1) g(n-1)$ $= (n-1)(n-2) g(n-2)$ $\dots$ $= (n-1)(n-2) \dots 2 \cdot 1 \cdot g(1)$

1. より $g(1) = 1$ であるため、以下のように階乗を用いて表すことができます。

$$g(n) = (n-1)!$$

4. $B(p, q)$ の $\theta$ に関する積分表現

$B(p, q) = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt$ に対して、 $t = \cos^2 \theta$ と変数変換を行います。

まず、微小量 $dt$ を求めます。

$$dt = -2 \cos \theta \sin \theta d\theta$$

次に、積分範囲を変換します。 $t = 0$ のとき $\cos^2 \theta = 0$ より $\theta = \pi/2$ $t = 1$ のとき $\cos^2 \theta = 1$ より $\theta = 0$

また、 $1-t = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ となります。これらを積分式に代入します。

$$B(p, q) = \int_{\pi/2}^{0} (\cos^2 \theta)^{p-1} (\sin^2 \theta)^{q-1} (-2 \cos \theta \sin \theta) d\theta$$

積分区間を入れ替えることでマイナス符号を消去し、項をまとめます。

$$B(p, q) = \int_{0}^{\pi/2} (\cos^{2p-2} \theta) (\sin^{2q-2} \theta) (2 \cos \theta \sin \theta) d\theta$$

$$B(p, q) = 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2p-1} \theta \sin^{2q-1} \theta d\theta$$

5. $p = 1/2, q = 1/2$ のときの $B(p, q)$ の値

6. で求めた式に $p = 1/2, q = 1/2$ を代入します。

指数部分は以下のようになります。 $2p-1 = 2(1/2)-1 = 0$ $2q-1 = 2(1/2)-1 = 0$

これらを積分式に適用すると、 $\cos^0 \theta = 1$ 、 $\sin^0 \theta = 1$ となります。

$$B(1/2, 1/2) = 2 \int_{0}^{\pi/2} 1 d\theta = 2 \left[ \theta \right]_{0}^{\pi/2} = 2 \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \pi$$

6. 空欄 (ア) 〜 (エ) の補充

まず $g(p)$ と $g(q)$ の積を計算します。変数としてそれぞれ $x$ と $y$ を用います。

$$g(p) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} x^{2p-1} dx$$

$$g(q) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} y^{2q-1} dy$$

これらを掛け合わせると、二重積分として以下のようにまとめられます。

$$g(p)g(q) = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} x^{2p-1} y^{2q-1} dx dy$$

したがって、(ア) は以下の式になります。

(ア) $e^{-(x^2+y^2)} x^{2p-1} y^{2q-1}$

次に、極座標変換 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ を行います。 このとき $x^2 + y^2 = r^2$ であり、面積要素は $dx dy = r dr d\theta$ となります。

$$g(p)g(q) = 4 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} (r \cos \theta)^{2p-1} (r \sin \theta)^{2q-1} r dr d\theta$$

$r$ と $\theta$ の項を整理します。

$$= 4 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{2p+2q-2} \cos^{2p-1} \theta \sin^{2q-1} \theta r dr d\theta$$

$$= 4 \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{2p+2q-1} \cos^{2p-1} \theta \sin^{2q-1} \theta dr d\theta$$

この二重積分は $r$ に関する積分と $\theta$ に関する積分に分離できます。係数 4 を $2 \times 2$ に分けます。

$$g(p)g(q) = \left( 2 \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r^{2p+2q-1} dr \right) \left( 2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2p-1} \theta \sin^{2q-1} \theta d\theta \right)$$

これより、(イ) と (ウ) は以下のようになります。

(イ) $e^{-r^2} r^{2p+2q-1}$

(ウ) $\cos^{2p-1} \theta \sin^{2q-1} \theta$

最後に $B(p, q)$ を $g(a)$ で表現します。 上の式の1つ目の括弧内は、与えられた関係式 $g(a) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-w^2} w^{2a-1} dw$ において $a = p+q, w = r$ としたものに等しいので、 $g(p+q)$ となります。 2つ目の括弧内は、4) で求めた通り $B(p, q)$ に等しいです。

したがって、以下の関係式が成り立ちます。

$$g(p)g(q) = g(p+q) B(p, q)$$

これを $B(p, q)$ について解くことで、(エ) が得られます。

(エ) $\frac{g(p)g(q)}{g(p+q)}$

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