東京工業大学 工学院 情報通信系 2018年8月実施 H2 相似行列と二次形式

标签：

• TITech
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Quadratic-Form
• Orthogonal-Matrix
• Inner-Product-and-Orthogonality

Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H2.

1） 2 つの正方行列 $A, B$ に対して，

$$B = P^{-1}AP \tag{H2.1}$$

が成り立つ正則な行列 $P$ が存在するとき，行列 $A, B$ は相似であるとよぶ．このとき，以下の問に答えよ．

a) 行列 $A, B$ が相似であるとき，これらが同じ固有値を持つことを示せ． b) 式 (H2.1) において $A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ , $P = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ であるとき，行列 $A, B$ のそれぞれについて，すべての固有値とこれらに対応する長さ 1 の固有ベクトルを求めよ．

2） 実変数 $x, y, z$ の二次形式 $f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 4z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ が与えられるとき，以下の問に答えよ．

a) $f(x, y, z)$ を，実対称行列 $T$ を用いて $\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ と表すとき， $T$ を求めよ． b) $f(x, y, z)$ は，直交行列 $Q$ を用いた変換 $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} s \\ t \\ u \end{pmatrix}$ を用いて， 標準形 $a_1s^2 + a_2t^2 + a_3u^2$ に変換できる．ただし， $a_1, a_2, a_3$ は実数で， $a_1 \le a_2 \le a_3$ とする．このとき， $Q$ 及び， $a_1, a_2, a_3$ を求めよ． c) 二次曲面 $f(x, y, z) - 2\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}y + 2\sqrt{3}z - 8 = 0$ が楕円面であることを示せ．

题目描述

1. 对两个方阵 $A,B$，若存在可逆矩阵 $P$ 使

$$B=P^{-1}AP, \tag{H2.1}$$

则称 $A,B$ 相似。

1. 证明相似矩阵 $A,B$ 具有相同的特征值。
2. 在 (H2.1) 中取

$$A=\begin{pmatrix}4&-3\\2&-1\end{pmatrix}, \qquad P=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}.$$

分别求 $A$ 与 $B$ 的全部特征值，并对每个特征值求一个对应的长度为 $1$ 的特征向量。

2. 给定实变量二次形式

$$f(x,y,z) =2x^2+2y^2+4z^2+2xy+2yz+2zx.$$

1. 求实对称矩阵 $T$，使

$$f(x,y,z) = \begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix} T \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}.$$

2. 通过正交变换

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = Q\begin{pmatrix}s\\t\\u\end{pmatrix}$$

将 $f$ 化为标准形

$$a_1s^2+a_2t^2+a_3u^2, \qquad a_1\leq a_2\leq a_3.$$

求正交矩阵 $Q$ 以及 $a_1,a_2,a_3$。 3. 证明二次曲面

$$f(x,y,z) -2\sqrt3x-2\sqrt3y+2\sqrt3z-8=0$$

是椭球面。

Kai

1)a)

$$\det(\lambda I-B)=\det\!\bigl(P^{-1}(\lambda I-A)P\bigr)=\det(\lambda I-A).$$

特性多項式が等しいので，相似な行列の固有値は重複度を含めて一致する。

1)b)

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-2),\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&-2\\1&3\end{pmatrix}.$$

単位固有ベクトルの一例は次のとおり（各ベクトルの符号反転も可）。

固有値	$A$	$B$
$1$	$(1,1)^{\mathsf T}/\sqrt2$	$(-2,1)^{\mathsf T}/\sqrt5$
$2$	$(3,2)^{\mathsf T}/\sqrt{13}$	$(-1,1)^{\mathsf T}/\sqrt2$

2)a),b)

$$T=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&4\end{pmatrix},\qquad \det(\lambda I-T)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-5).$$

対応する固有ベクトルを正規化して並べると

$$Q=\begin{pmatrix} 1/\sqrt2&1/\sqrt3&1/\sqrt6\\ -1/\sqrt2&1/\sqrt3&1/\sqrt6\\ 0&-1/\sqrt3&2/\sqrt6 \end{pmatrix},\quad Q^{\mathsf T}Q=I,\quad Q^{\mathsf T}TQ=\operatorname{diag}(1,2,5).$$

したがって $\boxed{(a_1,a_2,a_3)=(1,2,5)}$。

2)c)

$(x,y,z)^{\mathsf T}=Q(s,t,u)^{\mathsf T}$ を代入すると

$$s^2+2t^2+5u^2-6t-8=0,$$

すなわち

$$\boxed{\frac{s^2}{25/2}+\frac{(t-3/2)^2}{25/4}+\frac{u^2}{5/2}=1}.$$

分母がすべて正なので楕円面である。