東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 概率统计

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• TITech
• Conditional-Probability
• Independence-of-Random-Variables
• Covariance
• Expectation-and-Variance

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

S1.

1. $+1$ または $-1$ のみの値をとる 2 つの離散型確率変数 $T, U$ の同時確率分布が

$$\begin{aligned} \Pr[T = -1, U = -1] &= 0.4 \\ \Pr[T = -1, U = +1] &= 0.3 \\ \Pr[T = +1, U = -1] &= 0.2 \\ \Pr[T = +1, U = +1] &= 0.1 \end{aligned}$$

で与えられる．

a) $U$ の確率分布は $\Pr[U = -1] = 0.6, \Pr[U = +1] = 0.4$ で与えられる．これを用いて， $U$ の期待値と分散を求めよ．

b) $T$ の確率分布を求めよ．

c) $T$ の累積分布関数を図示せよ．

d) 条件付き確率 $\Pr[T = +1 | U = +1]$ の値を求めよ．

e) 確率変数の組 $T, U$ の共分散を求めよ．

f) 確率変数の組 $T, U$ が統計的に独立であるか否か，理由とともに答えよ．

题目描述

离散随机变量 $T,U$ 都只取 $+1$ 或 $-1$，其联合分布为

$$\begin{aligned} \Pr(T=-1,U=-1)&=0.4,\\ \Pr(T=-1,U=+1)&=0.3,\\ \Pr(T=+1,U=-1)&=0.2,\\ \Pr(T=+1,U=+1)&=0.1. \end{aligned}$$

1. 已知

$$\Pr(U=-1)=0.6,\qquad \Pr(U=+1)=0.4,$$

求 $U$ 的期望和方差。 2. 求 $T$ 的概率分布。 3. 画出 $T$ 的累积分布函数。 4. 计算条件概率 $\Pr(T=+1\mid U=+1)$。 5. 计算 $\operatorname{Cov}(T,U)$。 6. 判断 $T,U$ 是否统计独立，并说明理由。

Kai

S1

1) a)

$$E[U]=(-1)\cdot0.6+(+1)\cdot0.4=-0.2.$$

また常に $U^2=1$ なので

$$\operatorname{Var}(U)=E[U^2]-E[U]^2=1-(-0.2)^2=\boxed{0.96}.$$

したがって $\boxed{E[U]=-0.2}$ である。

1) b)

同時確率を $U$ について足し合わせると

$$P(T=-1)=0.4+0.3=\boxed{0.7},\qquad P(T=+1)=0.2+0.1=\boxed{0.3}.$$

1) c)

累積分布関数 $F_T(t)=P(T\le t)$ は

$$\boxed{ F_T(t)= \begin{cases} 0,&t<-1,\\ 0.7,&-1\le t<1,\\ 1,&t\ge1. \end{cases}}$$

したがってグラフは $t=-1$ で $0$ から $0.7$ へ， $t=1$ で $0.7$ から $1$ へ跳ぶ右連続な階段関数である。

1) d)

$$P(T=+1\mid U=+1)=\frac{P(T=+1,U=+1)}{P(U=+1)} =\frac{0.1}{0.4}=\boxed{0.25}.$$

1) e)

まず

$$E[T]=(-1)0.7+(+1)0.3=-0.4.$$

また $TU=+1$ となる確率も $TU=-1$ となる確率も $0.5$ なので $E[TU]=0$ である。ゆえに

$$\operatorname{Cov}(T,U)=E[TU]-E[T]E[U] =0-(-0.4)(-0.2)=\boxed{-0.08}.$$

1) f)

独立ならば，例えば

$$P(T=-1,U=-1)=P(T=-1)P(U=-1)=0.7\cdot0.6=0.42$$

でなければならない。しかし実際の同時確率は $0.4$ である。したがって $\boxed{T,U\text{ は独立でない}}$ 。これは共分散が $-0.08\neq0$ であることからも従う。