東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 线性代数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

2. 行列 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{pmatrix}$ が与えられるとき，以下の問に答えよ．

a) $B$ の固有値をすべて求め，各固有値 $\lambda$ に対して， $(B - \lambda I_3)$ の階数を求めよ．ただし， $I_3$ は 3 次の単位行列である．

b) 正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 9 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられるとき， $PJ = BP$ を満たす 3 次正方行列 $J$ を求めよ．

c) $B^n$ を求めよ．ただし， $n$ は自然数とする．

题目描述

给定

$$B= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 3&-7&5 \end{pmatrix}.$$

1. 求 $B$ 的全部特征值；对每个特征值 $\lambda$，计算 $\operatorname{rank}(B-\lambda I_3)$，其中 $I_3$ 是三阶单位矩阵。
2. 已知可逆矩阵

$$P= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 3&1&2\\ 9&1&3 \end{pmatrix},$$

求满足

$$PJ=BP$$

的三阶方阵 $J$。 3. 对自然数 $n$，求矩阵幂 $B^n$。

Kai

問題の解答と詳細な解説

(2) 行列 B に関する固有値・固有ベクトルおよび行列の累乗の計算

a) B の固有値と $(B - \lambda I_3)$ の階数

まず、行列 B の固有多項式を求めます。

$$|B - \lambda I_3| = \begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 3 & -7 & 5-\lambda \end{vmatrix}$$

第1列に沿って余因子展開を行うと、

$$-\lambda \begin{vmatrix} -\lambda & 1 \\ -7 & 5-\lambda \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -\lambda & 1 \end{vmatrix} = -\lambda \{ -\lambda(5-\lambda) - (-7) \} + 3(1)$$

$$= -\lambda(\lambda^2 - 5\lambda + 7) + 3 = -\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3$$

特性方程式は $-\lambda^3 + 5\lambda^2 - 7\lambda + 3 = 0$ 、すなわち $\lambda^3 - 5\lambda^2 + 7\lambda - 3 = 0$ となります。 $\lambda = 1$ を代入すると $1 - 5 + 7 - 3 = 0$ となるため、 $\lambda - 1$ を因数に持ちます。

$$\lambda^3 - 5\lambda^2 + 7\lambda - 3 = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) = (\lambda - 1)^2(\lambda - 3) = 0$$

よって、B の固有値は $\lambda = 1, 3$ です。（ $\lambda=1$ は代数的重複度2）

次に、各固有値に対して $(B - \lambda I_3)$ の階数 (rank) を求めます。

・ $\lambda = 1$ のとき：

$$B - I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & -7 & 4 \end{pmatrix}$$

行基本変形を行います。 第3行に第1行の3倍を加えると、

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}$$

第3行から第2行の4倍を引くと、

$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

ゼロでない行が2つ残るため、階数は 2 です。 よって、 $\text{rank}(B - I_3) = 2$ です。

・ $\lambda = 3$ のとき：

$$B - 3I_3 = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 3 & -7 & 2 \end{pmatrix}$$

行基本変形を行います。 第3行に第1行を加えると、

$$\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -6 & 2 \end{pmatrix}$$

第3行から第2行の2倍を引くと、

$$\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

ゼロでない行が2つ残るため、階数は 2 です。 よって、 $\text{rank}(B - 3I_3) = 2$ です。

b) PJ = BP を満たす 3 次正方行列 J の導出

与えられた P の各列ベクトルを $\mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{p}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ とおきます。 行列の積 BP を計算し、P の列ベクトルとの関係を調べます。

$$B \mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 27 \end{pmatrix} = 3 \mathbf{p}_1$$

$$B \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \mathbf{p}_2$$

$$B \mathbf{p}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$$

ここで、 $B \mathbf{p}_3$ の結果をよく見ると、 $\mathbf{p}_2 + \mathbf{p}_3 = \begin{pmatrix} 1+1 \\ 1+2 \\ 1+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ と一致することがわかります。 つまり、 $B \mathbf{p}_3 = \mathbf{p}_2 + \mathbf{p}_3$ が成り立ちます。

これを行列の形でまとめると、以下のようになります。

$$B P = B (\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3) = (3\mathbf{p}_1, 1\mathbf{p}_2, \mathbf{p}_2 + 1\mathbf{p}_3) = (\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3) \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

したがって、 $B P = P J$ を満たす行列 J （ジョルダン標準形）は次の通りです。

$$J = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

c) B^n の計算

b) の結果 $B P = P J$ より、 $B = P J P^{-1}$ と表せるため、n 乗は $B^n = P J^n P^{-1}$ で計算できます。

まず、J の n 乗を求めます。J はジョルダン細胞を持つブロック対角行列であるため、直接累乗が可能です。

$$J^n = \begin{pmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

次に、P の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。P の行列式は以下の通りです。

$$|P| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 9 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(3 - 2) - 1(9 - 18) + 1(3 - 9) = 1 - (-9) - 6 = 4$$

余因子行列を計算して転置することで逆行列を求めます。

$$P^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 9 & -6 & 1 \\ -6 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$

これらを用いて $B^n = P J^n P^{-1}$ を計算します。 まず $P$ と $J^n$ の積を計算します。

$$P J^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 9 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^n & 1 & n+1 \\ 3 \cdot 3^n & 1 & n+2 \\ 9 \cdot 3^n & 1 & n+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3^n & 1 & n+1 \\ 3^{n+1} & 1 & n+2 \\ 3^{n+2} & 1 & n+3 \end{pmatrix}$$

最後にこれに $P^{-1}$ を右から掛けます。

$$B^n = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3^n & 1 & n+1 \\ 3^{n+1} & 1 & n+2 \\ 3^{n+2} & 1 & n+3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 9 & -6 & 1 \\ -6 & 8 & -2 \end{pmatrix}$$

各成分を計算して整理します。

・(1,1)成分: $3^n(1) + 1(9) + (n+1)(-6) = 3^n - 6n + 3$ ・(1,2)成分: $3^n(-2) + 1(-6) + (n+1)(8) = -2 \cdot 3^n + 8n + 2$ ・(1,3)成分: $3^n(1) + 1(1) + (n+1)(-2) = 3^n - 2n - 1$

・(2,1)成分: $3^{n+1}(1) + 1(9) + (n+2)(-6) = 3^{n+1} - 6n - 3$ ・(2,2)成分: $3^{n+1}(-2) + 1(-6) + (n+2)(8) = -2 \cdot 3^{n+1} + 8n + 10$ ・(2,3)成分: $3^{n+1}(1) + 1(1) + (n+2)(-2) = 3^{n+1} - 2n - 3$

・(3,1)成分: $3^{n+2}(1) + 1(9) + (n+3)(-6) = 3^{n+2} - 6n - 9$ ・(3,2)成分: $3^{n+2}(-2) + 1(-6) + (n+3)(8) = -2 \cdot 3^{n+2} + 8n + 18$ ・(3,3)成分: $3^{n+2}(1) + 1(1) + (n+3)(-2) = 3^{n+2} - 2n - 5$

よって、求める行列 $B^n$ は以下のようになります。

$$B^n = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3^n - 6n + 3 & -2 \cdot 3^n + 8n + 2 & 3^n - 2n - 1 \\ 3^{n+1} - 6n - 3 & -2 \cdot 3^{n+1} + 8n + 10 & 3^{n+1} - 2n - 3 \\ 3^{n+2} - 6n - 9 & -2 \cdot 3^{n+2} + 8n + 18 & 3^{n+2} - 2n - 5 \end{pmatrix}$$

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