東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 线性代数

标签：

• TITech
• Characteristic-Polynomial
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

H2.

1. 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 & 8 \end{pmatrix}$ が与えられるとき，以下の問に答えよ．

a) $A$ の固有多項式を求めよ．

b) $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし， $\lambda_1 > \lambda_2$ ) と，これらに対応する長さ 1 の固有ベクトルを求めよ．

c) $A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19I_2$ を求めよ．ただし， $I_2$ は 2 次の単位行列である．

题目描述

给定矩阵

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\-12&8\end{pmatrix}.$$

1. 求 $A$ 的特征多项式。
2. 求 $A$ 的两个特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，按 $\lambda_1>\lambda_2$ 排列，并分别给出对应的一个长度为 $1$ 的特征向量。
3. 计算

$$A^5-6A^4-3A^3+17A^2-A+19I_2,$$

其中 $I_2$ 为二阶单位矩阵。

Kai

問題の解答と詳細な解説

1. 行列 $A$ の固有値、固有ベクトル、および行列の多項式の計算

(a) $A$ の固有多項式を求めよ

行列 $A$ の固有多項式（特性多項式）は、 $|\lambda I_2 - A|$ または $|A - \lambda I_2|$ を計算することで求められます。ここでは $|\lambda I_2 - A|$ として計算します。（ $I_2$ は 2 次の単位行列です）

$$|\lambda I_2 - A| = \begin{vmatrix} \lambda - 0 & -1 \\ -(-12) & \lambda - 8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 12 & \lambda - 8 \end{vmatrix}$$

行列式を計算します。

$$\lambda(\lambda - 8) - (-1 \times 12) = \lambda^2 - 8\lambda + 12$$

したがって、 $A$ の固有多項式は $\lambda^2 - 8\lambda + 12$ です。

(b) $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ と、これらに対応する長さ 1 の固有ベクトル

固有値は、固有多項式を 0 とおいた固有方程式 $\lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0$ の解として求められます。

$$(\lambda - 6)(\lambda - 2) = 0$$

よって、固有値は $6$ と $2$ です。 条件 $\lambda_1 > \lambda_2$ より、 $\lambda_1 = 6, \lambda_2 = 2$ となります。

次に、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

・ $\lambda_1 = 6$ のとき： $(A - 6I_2)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$$\begin{pmatrix} 0 - 6 & 1 \\ -12 & 8 - 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & 1 \\ -12 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

これより、 $-6x + y = 0$ すなわち $y = 6x$ が得られます。 固有ベクトルは定数 $c$ を用いて $c\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$ と表せます。 長さを 1 にするため、ノルム $\sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{37}$ で割ります。

$\lambda_1 = 6$ に対応する長さ 1 の固有ベクトル： $\pm\frac{1}{\sqrt{37}}\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}$

・ $\lambda_2 = 2$ のとき： $(A - 2I_2)\mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たすベクトル $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$$\begin{pmatrix} 0 - 2 & 1 \\ -12 & 8 - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -12 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

これより、 $-2x + y = 0$ すなわち $y = 2x$ が得られます。 固有ベクトルは定数 $c$ を用いて $c\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と表せます。 長さを 1 にするため、ノルム $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ で割ります。

$\lambda_2 = 2$ に対応する長さ 1 の固有ベクトル： $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(c) $A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19I_2$ の計算

ケーリー・ハミルトンの定理により、行列 $A$ は自身の固有多項式を満たすため、 $A^2 - 8A + 12I_2 = O$ （零行列）が成り立ちます。 この性質を利用して、計算対象の高次多項式を次数下げ（割り算）します。

計算対象の多項式 $x^5 - 6x^4 - 3x^3 + 17x^2 - x + 19$ を $x^2 - 8x + 12$ で割る筆算を行います。

$$\begin{aligned} x^5 - 6x^4 - 3x^3 + 17x^2 - x + 19 &= (x^2 - 8x + 12)(x^3) + 2x^4 - 15x^3 + 17x^2 - x + 19 \\ &= (x^2 - 8x + 12)(x^3 + 2x^2) + x^3 - 7x^2 - x + 19 \\ &= (x^2 - 8x + 12)(x^3 + 2x^2 + x) + x^2 - 13x + 19 \\ &= (x^2 - 8x + 12)(x^3 + 2x^2 + x + 1) - 5x + 7 \end{aligned}$$

このように、商が $x^3 + 2x^2 + x + 1$ 、余りが $-5x + 7$ となります。 行列 $A$ に置き換えると以下の関係式が成り立ちます。

$$A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19I_2 = (A^3 + 2A^2 + A + I_2)(A^2 - 8A + 12I_2) - 5A + 7I_2$$

ここで $A^2 - 8A + 12I_2 = O$ であるため、第一項は零行列となり完全に消去されます。

$$= O - 5A + 7I_2 = -5A + 7I_2$$

最後に、この $-5A + 7I_2$ に具体的な行列 $A$ と単位行列 $I_2$ を代入して計算します。

$$-5 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 & 8 \end{pmatrix} + 7 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ 60 & -40 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ 60 & -33 \end{pmatrix}$$

よって、求める行列は $\begin{pmatrix} 7 & -5 \\ 60 & -33 \end{pmatrix}$ です。

图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/东京工业大学_情报通信_2017_20260308_191244_236257.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。