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東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 微积分

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura

Description​

H1.

  1. xx を実変数としたとき，任意の実数 α\alpha に対して次の不定積分を求めよ．
∫xαdx\int x^\alpha dx
  1. m,nm, n を m≦nm \leqq n である任意の正の整数とし， f(x)f(x) は実変数の実数値関数であるとする． a) f(x)f(x) が閉区間 [m,n+1][m, n+1] 上で連続かつ単調減少であるとき，
∫mn+1f(x)dx≦∑k=mnf(k)\int_m^{n+1} f(x)dx \leqq \sum_{k=m}^n f(k)

であることを示せ．

b) f(x)f(x) が閉区間 [m−1,n][m-1, n] 上で連続かつ単調減少であるとき，

∑k=mnf(k)≦∫m−1nf(x)dx\sum_{k=m}^n f(k) \leqq \int_{m-1}^n f(x)dx

であることを示せ．

  1. 任意の正の整数 nn に対して次の不等式が成立することを示せ．
log⁡e(n+1)≦∑k=1n1k\log_e(n+1) \leqq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
  1. 任意の正の整数 nn に対して次の不等式が成立することを示せ．
∑k=1n1k2≦2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leqq 2
  1. 任意の正の整数 nn に対して次の不等式が成立することを示せ．
log⁡en!≧1−n+nlog⁡en\log_e n! \geqq 1 - n + n \log_e n

题目描述​

  1. 以 xx 为实变量。对任意实数 α\alpha，求不定积分
∫xα dx.\int x^\alpha\,dx.

  1. 设 m,nm,n 是满足 m≤nm\leq n 的任意正整数，f(x)f(x) 为实变量实值函数。

    1. 若 ff 在闭区间 [m,n+1][m,n+1] 上连续且单调递减，证明
    ∫mn+1f(x) dx≤∑k=mnf(k).\int_m^{n+1}f(x)\,dx \leq\sum_{k=m}^nf(k).
    1. 若 ff 在闭区间 [m−1,n][m-1,n] 上连续且单调递减，证明
    ∑k=mnf(k)≤∫m−1nf(x) dx.\sum_{k=m}^nf(k) \leq\int_{m-1}^nf(x)\,dx.

  2. 证明对任意正整数 nn，

log⁡e(n+1)≤∑k=1n1k.\log_e(n+1)\leq\sum_{k=1}^n\frac1k.
  1. 证明对任意正整数 nn，
∑k=1n1k2≤2.\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\leq2.
  1. 证明对任意正整数 nn，
log⁡en!≥1−n+nlog⁡en.\log_e n!\geq1-n+n\log_e n.

Kai​

問題の解答と詳細な解説

  1. 実変数 xx の不定積分

実数 α\alpha の値によって、不定積分の結果は 2 つのケースに分かれます。 積分定数を CC とします。 任意の実数 α\alpha に対する実数値の xαx^\alpha は，まず x>0x>0 の区間で考える。 負の xx でも実数値かつ微分可能となる特別な α\alpha については， 定義域内の 00 を含まない各区間で同じ公式が成り立つ。

・ α≠−1\alpha \neq -1 の場合：

∫xαdx=xα+1α+1+C\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C

・ α=−1\alpha = -1 の場合：

∫x−1dx=∫1xdx=log⁡e∣x∣+C\int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \log_e |x| + C
  1. 関数と積分の不等式の証明

a) 閉区間 [m,n+1][m, n+1] における不等式

f(x)f(x) は単調減少関数であるため、任意の整数 kk に対して区間 k≦x≦k+1k \leqq x \leqq k+1 において以下の大小関係が成り立ちます。

f(x)≦f(k)f(x) \leqq f(k)

この区間で両辺を積分します。

∫kk+1f(x)dx≦∫kk+1f(k)dx\int_k^{k+1} f(x)dx \leqq \int_k^{k+1} f(k)dx

右辺は定数 f(k)f(k) の積分なので、次のように計算できます。

∫kk+1f(k)dx=f(k)[x]kk+1=f(k)(k+1−k)=f(k)\int_k^{k+1} f(k)dx = f(k) \left[ x \right]_k^{k+1} = f(k) (k+1 - k) = f(k)

したがって、区間 [k,k+1][k, k+1] において ∫kk+1f(x)dx≦f(k)\int_k^{k+1} f(x)dx \leqq f(k) となります。 これを k=mk=m から k=nk=n まで足し合わせます。

∑k=mn∫kk+1f(x)dx≦∑k=mnf(k)\sum_{k=m}^n \int_k^{k+1} f(x)dx \leqq \sum_{k=m}^n f(k)

左辺は積分の性質により区間が繋がるため、 ∫mn+1f(x)dx\int_m^{n+1} f(x)dx となります。 よって、題意の不等式が成立します。（証明終）

∫mn+1f(x)dx≦∑k=mnf(k)\int_m^{n+1} f(x)dx \leqq \sum_{k=m}^n f(k)

b) 閉区間 [m−1,n][m-1, n] における不等式

f(x)f(x) は単調減少関数であるため、任意の整数 kk に対して区間 k−1≦x≦kk-1 \leqq x \leqq k において以下の大小関係が成り立ちます。

f(k)≦f(x)f(k) \leqq f(x)

この区間で両辺を積分します。

∫k−1kf(k)dx≦∫k−1kf(x)dx\int_{k-1}^k f(k)dx \leqq \int_{k-1}^k f(x)dx

左辺は定数 f(k)f(k) の積分なので、同様に計算して f(k)f(k) となります。

f(k)≦∫k−1kf(x)dxf(k) \leqq \int_{k-1}^k f(x)dx

これを k=mk=m から k=nk=n まで足し合わせます。

∑k=mnf(k)≦∑k=mn∫k−1kf(x)dx\sum_{k=m}^n f(k) \leqq \sum_{k=m}^n \int_{k-1}^k f(x)dx

右辺は積分の性質により区間が繋がるため、 ∫m−1nf(x)dx\int_{m-1}^n f(x)dx となります。 よって、題意の不等式が成立します。（証明終）

∑k=mnf(k)≦∫m−1nf(x)dx\sum_{k=m}^n f(k) \leqq \int_{m-1}^n f(x)dx
  1. 対数関数に関する不等式の証明

f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} とおきます。この関数は x>0x > 0 において連続かつ単調減少関数です。 したがって、2) の a) で証明した不等式を利用できます。 m=1m=1 として不等式に適用します。

∫1n+11xdx≦∑k=1n1k\int_1^{n+1} \frac{1}{x}dx \leqq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

左辺の定積分を計算します。

∫1n+11xdx=[log⁡ex]1n+1=log⁡e(n+1)−log⁡e1=log⁡e(n+1)\int_1^{n+1} \frac{1}{x}dx = \left[ \log_e x \right]_1^{n+1} = \log_e(n+1) - \log_e 1 = \log_e(n+1)

これを不等式に戻すと、題意の式が成立することが示されます。（証明終）

log⁡e(n+1)≦∑k=1n1k\log_e(n+1) \leqq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
  1. 逆数の平方和に関する不等式の証明

f(x)=1x2f(x) = \frac{1}{x^2} とおきます。この関数も x>0x > 0 において連続かつ単調減少関数です。 ここで、 x=0x=0 での発散を避けるため、 k=1k=1 の項を分けて考え、和の部分を k=2k=2 から始めます。

∑k=1n1k2=1+∑k=2n1k2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2}

後半の和の部分に対して、2) の b) で証明した不等式を m=2m=2 として適用します。

∑k=2n1k2≦∫2−1n1x2dx=∫1nx−2dx\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \leqq \int_{2-1}^n \frac{1}{x^2}dx = \int_1^n x^{-2}dx

右辺の定積分を計算します。

∫1nx−2dx=[−1x]1n=−1n−(−1)=1−1n\int_1^n x^{-2}dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^n = -\frac{1}{n} - (-1) = 1 - \frac{1}{n}

これを元の式に代入します。

∑k=1n1k2≦1+(1−1n)=2−1n\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leqq 1 + \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = 2 - \frac{1}{n}

任意の正の整数 nn において 1n>0\frac{1}{n} > 0 であるため、 2−1n<22 - \frac{1}{n} < 2 となります。 よって、題意の不等式が成立することが示されました。（証明終）

∑k=1n1k2≦2\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leqq 2
  1. 階乗の対数に関する不等式の証明

対数の性質 log⁡e(A×B)=log⁡eA+log⁡eB\log_e(A \times B) = \log_e A + \log_e B を用いると、 log⁡en!\log_e n! は和の形で表せます。

log⁡en!=log⁡e(1×2×⋯×n)=∑k=1nlog⁡ek\log_e n! = \log_e(1 \times 2 \times \dots \times n) = \sum_{k=1}^n \log_e k

f(x)=log⁡exf(x) = \log_e x とおきます。この関数は x>0x > 0 において連続かつ「単調増加」関数です。 f(x)f(x) が単調増加であるため、区間 k−1≦x≦kk-1 \leqq x \leqq k においては以下の大小関係が成り立ちます。

f(x)≦f(k)f(x) \leqq f(k)

この区間で両辺を積分します。

∫k−1klog⁡exdx≦∫k−1klog⁡ekdx\int_{k-1}^k \log_e x dx \leqq \int_{k-1}^k \log_e k dx

右辺は定数の積分なので、これまでと同様に log⁡ek\log_e k となります。

∫k−1klog⁡exdx≦log⁡ek\int_{k-1}^k \log_e x dx \leqq \log_e k

これを k=2k=2 から k=nk=n まで足し合わせます（ log⁡e1=0\log_e 1 = 0 なので k=1k=1 の項の扱いはそのままで問題ありません）。

∑k=2n∫k−1klog⁡exdx≦∑k=2nlog⁡ek\sum_{k=2}^n \int_{k-1}^k \log_e x dx \leqq \sum_{k=2}^n \log_e k

左辺の積分を繋げ、右辺を log⁡en!\log_e n! に置き換えます。

∫1nlog⁡exdx≦log⁡en!\int_1^n \log_e x dx \leqq \log_e n!

左辺の定積分を部分積分を用いて計算します。

∫1nlog⁡exdx=[xlog⁡ex−x]1n=(nlog⁡en−n)−(1log⁡e1−1)\int_1^n \log_e x dx = \left[ x \log_e x - x \right]_1^n = (n \log_e n - n) - (1 \log_e 1 - 1)

log⁡e1=0\log_e 1 = 0 を適用して整理します。

=nlog⁡en−n−(0−1)=1−n+nlog⁡en= n \log_e n - n - (0 - 1) = 1 - n + n \log_e n

これを先ほどの不等式に代入することで、題意が成立することが示されました。（証明終）

1−n+nlog⁡en≦log⁡en!1 - n + n \log_e n \leqq \log_e n!

图像边界：原始 JSON 引用了 question_images/东京工业大学_情报通信_2017_20260308_191546_553672.png，但该文件没有随 JSON 一并提供。本文只保留能够由文字和公式确认的内容。

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