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東京工業大学 工学院 電気電子系 2023年8月実施 数学2

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Author​

祭音Myyura

Description​

複素関数に関する以下の問に答えよ。ただし，虚数単位を jj で表す (j2=−1)(j^2 = -1)。

(1) 複素数 zz に関して式 (2.1)(2.1) が成立するとき，実数 a,ba,b を求めよ。ただし，実数の指数乗はそのまま残してよい。

z=(38+j8)=a+jb\begin{align} z = \bigg(\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{j}{8}\bigg) = a + jb \tag{2.1} \end{align}

(2) 式 (2.2)(2.2) の一次変換による ∣z∣=2|z| = 2 の写像を求め，ww の複素平面上に描け。ただし，ww は共に複素数とする。

w=z+1z−1\begin{align} w = \frac{z + 1}{z - 1} \tag{2.2} \end{align}

(3) 積分路 CC が ∣z∣=3|z| = 3 で与えられた場合, 式 (2.3)(2.3) の積分を求めよ。ただし, zz は複素数とし，積分路 CC に沿って反時計周りに周回積分するものとする。

∫C5z−12z2+3z−2dz\begin{align} \int_C \frac{5z - 1}{2z^2 + 3z - 2}dz \tag{2.3} \end{align}

(4) 式 (2.4)(2.4) の定積分を考える。

∫02π13+2cos⁡θdθ\begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{1}{3 + 2\cos\theta}d\theta \tag{2.4} \end{align}

① z=ejθz = e^{j\theta} とおき(ただし，0≤θ≤2π0 \le \theta \le 2\pi),式 (2.4)(2.4) を複素数 zz の積分式として表せ。

② 式 (2.4)(2.4) の定積分を求めよ。

题目描述​

回答下列复函数问题，以 jj 表示虚数单位，j2=−1j^2=-1。

  1. 原 Description 的式 (2.1) 在底数后漏排了指数，但其“实数的指数幂可原样保留”的说明以及 Kai 唯一确认指数为 2020。因此本问为：若

    z=(38+j8)20=a+jb,(2.1)z= \left(\frac{\sqrt3}{8}+\frac j8\right)^{20} =a+jb, \tag{2.1}

    求实数 a,ba,b；实数的幂可以不展开。

  2. 在 Möbius 变换

    w=z+1z−1(2.2)w=\frac{z+1}{z-1} \tag{2.2}

    下，求圆 ∣z∣=2|z|=2 的像，并在 ww 复平面上画出。

  3. 令积分路 CC 为 ∣z∣=3|z|=3 的逆时针圆周，计算

    ∫C5z−12z2+3z−2 dz.(2.3)\int_C\frac{5z-1}{2z^2+3z-2}\,\mathrm dz. \tag{2.3}

  4. 考虑定积分

    ∫02πdθ3+2cos⁡θ.(2.4)\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm d\theta} {3+2\cos\theta}. \tag{2.4}
    1. 令 z=ejθz=e^{j\theta}，其中 0≤θ≤2π0\leq\theta\leq2\pi，把 (2.4) 写成关于复数 zz 的围道积分。
    2. 计算 (2.4) 的值。

考点​

  • 复数的极形式与 De Moivre 公式：把给定复数写成模与辐角形式，计算二十次幂的实部、虚部。
  • Möbius 变换下的圆：用反变换把 ∣z∣=2|z|=2 化为 w=u+jvw=u+jv 满足的圆方程，并确定圆心、半径。
  • 留数定理：分解有理函数分母，判断 ∣z∣=3|z|=3 内的极点并求围道积分。
  • 实三角积分的复方法：作 z=ejθz=e^{j\theta} 代换，把余弦积分化为单位圆上的有理积分并选取圆内极点。

Kai​

(1)​

z=(38+j18)20={14(32+j12)}20=(14)20(ejπ6)20=(14)20ej103π=(14)20(−12−j32)=−12(14)20−j32(14)20\begin{aligned} z &= \big(\frac{\sqrt{3}}{8} + j\frac{1}{8}\big)^{20} \\ &= \bigg\{\frac{1}{4}\big(\frac{\sqrt{3}}{2} + j\frac{1}{2}\big)\bigg\}^{20} \\ &= (\frac{1}{4})^{20}(e^{j\frac{\pi}{6}})^{20} \\ &= (\frac{1}{4})^{20} e^{j\frac{10}{3}\pi} \\ &= (\frac{1}{4})^{20} \big(-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}\big) \\ &= -\frac{1}{2}(\frac{1}{4})^{20} - j\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{1}{4})^{20} \end{aligned}
∴a=−12(14)20,b=−32(14)20\therefore a = -\frac{1}{2}(\frac{1}{4})^{20} ,\quad b = -\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{1}{4})^{20}

(2)​

w=z+1z−1(z−1)w=z+1zw−z=w+1z(w−1)=w+1z=w+1w−1\begin{aligned} w &= \frac{z + 1}{z - 1} \\ (z - 1)w &= z + 1 \\ zw - z &= w + 1 \\ z(w - 1) &= w + 1 \\ z &= \frac{w + 1}{w - 1} \end{aligned}
∣z∣=2,2=∣w+1∣∣w−1∣⇔2∣w−1∣=∣w+1∣|z| = 2,2 = \frac{|w + 1|}{|w - 1|} \Leftrightarrow 2|w - 1| = |w + 1|

w=u+ivw = u + iv とすると、

2∣(1−u)−iv∣=∣(1+u)+iv∣4∣(1−u)−iv∣2=∣(1+u)+iv∣24(1−2u+u2+v2)=1+2u+u2+v23v2−8u+4+4u2=1+2u+u23v2+3u2−10u+3=0(u−53)2+v2=(43)2\begin{aligned} 2|(1 - u) - iv| &= |(1 + u) + iv| \\ 4|(1 - u) - iv|^2 &= |(1 + u) + iv|^2 \\ 4(1 - 2u + u^2 + v^2) &= 1 + 2u + u^2 + v^2 \\ 3v^2 - 8u + 4 + 4u^2 &= 1 + 2u + u^2 \\ 3v^2 + 3u^2 - 10u + 3 &= 0 \\ (u - \frac{5}{3})^2 + v^2 &= (\frac{4}{3})^2 \\ \end{aligned}

中心 (53,0)(\frac{5}{3},0),半径 43\frac{4}{3} の円

(3)​

∫Cf(z)dz=∫C5z−12z2+3z−2dz=∫C5z−12(z+2)(z−12)dz\begin{aligned} \int_C f(z)dz &= \int_C \frac{5z - 1}{2z^2 + 3z - 2}dz \\ &= \int_C \frac{5z - 1}{2(z + 2)(z - \frac{1}{2})}dz \end{aligned}

特異点は、z=−2,12z = -2,\frac{1}{2} で留数定理より、

Res(f(z),−2)=lim⁡z→−2(z+2)f(z)=−10−12(−2−12)=115\begin{aligned} \text{Res}(f(z),-2) &= \lim_{z \rightarrow -2}(z + 2)f(z) \\ &= \frac{-10 - 1}{2(-2 - \frac{1}{2})} \\ &= \frac{11}{5} \end{aligned}
Res(f(z),12)=lim⁡z→12(z−12)f(z)=52−12(12+2)=310\begin{aligned} \text{Res}(f(z),\frac{1}{2}) &= \lim_{z \rightarrow \frac{1}{2}}(z - \frac{1}{2})f(z) \\ &= \frac{\frac{5}{2} - 1}{2(\frac{1}{2} + 2)} \\ &= \frac{3}{10} \end{aligned}

従って、

∫C5z−12z2+3z−2dz=2πλ[Res(f(z),12),Res(f(z),−2)]=2πλ(115+310)=5πλ\begin{aligned} \int_C \frac{5z - 1}{2z^2 + 3z - 2}dz &= 2\pi\lambda\big[\text{Res}(f(z),\frac{1}{2}),\text{Res}(f(z),-2)\big] \\ &= 2\pi\lambda (\frac{11}{5} + \frac{3}{10}) \\ &= 5\pi\lambda \end{aligned}

(4)​

①

z=ejθ(0≤θ≤2π)z = e^{j\theta} (0 \le \theta \le 2\pi)
dzdθ=jejθ=jz⇔dθ=dzjz\frac{dz}{d\theta} = je^{j\theta} = jz \Leftrightarrow d\theta = \frac{dz}{jz}
cos⁡θ=z+1z2\cos\theta = \frac{z + \frac{1}{z}}{2}
∫02π13+2cos⁡θdθ=∫C13+2⋅z+1z2⋅dzjz=∫C13+z+1z⋅dzjz=∫C1j(z2+3z+1)dz\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \frac{1}{3 + 2\cos\theta}d\theta &= \int_C \frac{1}{3 + 2 \cdot \frac{z + \frac{1}{z}}{2}}\cdot \frac{dz}{jz} \\ &= \int_C \frac{1}{3 + z + \frac{1}{z}} \cdot \frac{dz}{jz} \\ &= \int_C \frac{1}{j(z^2 + 3z + 1)}dz \end{aligned}

②​

z2+3z+1=0⇔z=−3±9−42=−3±52\begin{aligned} z^2 + 3z + 1 = 0 \Leftrightarrow z &= \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{aligned}

よって、z=−3+52z = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} のみが極であるので、

Res(f(z),−3+52)=1j(−3+52−−3−52)=1j(52+52)=1j5\begin{aligned} \text{Res}(f(z),\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}) \\ &= \frac{1}{j(\frac{-3 + \sqrt{5}}{2} - \frac{-3 - \sqrt{5}}{2})} \\ &= \frac{1}{j(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})} \\ &= \frac{1}{j\sqrt{5}} \end{aligned}
∴∫02π13+2cos⁡θdθ=∫Cf(z)dz=2πj⋅1j5=25π=255π\begin{aligned} \therefore \int_0^{2\pi}\frac{1}{3 + 2\cos\theta}d\theta &= \int_C f(z)dz \\ &= 2\pi j \cdot \frac{1}{j\sqrt{5}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{5}}\pi \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{5}\pi \end{aligned}
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