東京工業大学 工学院 電気電子系 2023年8月実施 数学2

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祭音Myyura

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複素関数に関する以下の問に答えよ。ただし，虚数単位を で表す 。

(1) 複素数 に関して式 が成立するとき，実数 を求めよ。ただし，実数の指数乗はそのまま残してよい。

(2) 式 の一次変換による の写像を求め， の複素平面上に描け。ただし， は共に複素数とする。

(3) 積分路 が で与えられた場合, 式 の積分を求めよ。ただし, は複素数とし，積分路 に沿って反時計周りに周回積分するものとする。

(4) 式 の定積分を考える。

① とおき(ただし，),式 を複素数 の積分式として表せ。

② 式 の定積分を求めよ。

Kai

(1)

(2)

とすると、

中心 ,半径 の円

(3)

特異点は、 で留数定理より、

従って、

(4)

①

②

よって、 のみが極であるので、