東京工業大学 工学院 電気電子系 2023年8月実施 数学1

标签：

• TITech
• Bessel-Equation
• Frobenius-Method
• Power-Series

Author

祭音Myyura

Description

式 $(1.1)$ で与えられる微分方程式について考える。ただし，$y$ は $x$ の関数である。また，$m$ は実数であり，$0 < m < 1$ である。

$$\begin{align} x^2\frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - m^2)y = 0 \tag{1.1} \end{align}$$

級数解法を適用して，式 $(1.1)$ の解が式 $(1,2)$ のように整数 $n$, および実数 $a_n$, $k$ を用いて表せるとする。ただし, $a_0 \neq 0,a_1 = 0$ とする。

$$\begin{align} y = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} \tag{1.2} \end{align}$$

以下の問に答えよ。

(1) $\frac{dy}{dx}$ および $\frac{d^2y}{dx^2}$ を $x,n,k,a_n$ を用いて表せ。

(2) $k$ を $m$ を用いて表せ。ただし，$a_n(n = 0,1,\dots,\infty)$ を用いてはいけない。

(3) $a_2$ を $a_0$ と $m$ を用いて表せ。

(4) $n \ge 2$ に対して，$a_n$ を $a_{n - 2},n,m$ を用いて表せ。

题目描述

设 $y$ 为 $x$ 的函数，$m$ 为满足

$$0<m<1$$

的实数，考虑 Bessel 方程

$$x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} +x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} +(x^2-m^2)y=0. \tag{1.1}$$

用级数法设解为

$$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^{n+k}, \tag{1.2}$$

其中 $n$ 为整数，$a_n,k$ 为实数，并规定

$$a_0\neq0,\qquad a_1=0.$$

1. 用 $x,n,k,a_n$ 写出 $\mathrm dy/\mathrm dx$ 与 $\mathrm d^2y/\mathrm dx^2$ 的级数表达式。
2. 用 $m$ 表示指标 $k$，答案中不得含任何 $a_n$。
3. 用 $a_0,m$ 表示 $a_2$；结果应包含第 2 问两个可能指标所对应的情形。
4. 对 $n\geq2$，用 $a_{n-2},n,m$ 表示 $a_n$；结果同样应体现两个指标分支。

考点

• Frobenius 级数法：对正则奇点 $x=0$ 设广义幂级数，逐项求导并按相同幂次配系数。
• Bessel 方程的指标方程：由最低次幂系数求 $k=\pm m$。
• 幂级数系数递推：移动 $x^2y$ 项的求和指标，分别得到两个 Frobenius 分支的 $a_2$ 与一般 $a_n$。

Kai

(1)

$y = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k}$ より、

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)a_nx^{n + k - 1} \\ \frac{d^2y}{dx^2} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)(n + k - 1)a_nx^{n + k - 2} \end{aligned}$$

(2)

$(1.1)$ 式の両辺を $x^2$ で割ると,

$$\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + \big(1 - \frac{m^2}{x^2}\big)y = 0$$

確定特異点は $x = 0$ より、

$$a_0 = x \cdot \frac{1}{x}\bigg|_{x = 0} = 1$$

$$\begin{aligned} b_0 &= x^2\big(1 - \frac{m^2}{x^2}\big)\bigg|_{x = 0} \\ &= x^2 - m^2\bigg|_{x = 0} \\ &= -m^2 \end{aligned}$$

決定方程式は、$\lambda^2 + (a_0 - 1)\lambda + b_0 = 0$ より、

$$\lambda^2 - m^2 = 0 \Leftrightarrow \lambda^2 = m^2$$

$$\therefore \lambda = \pm m$$

$$\begin{aligned} \therefore y &= x^{\pm m} \sum_{n = 0}^{\infty}a_n x^n \\ &= \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n \pm m} \end{aligned}$$

これを $(1.2)$ 式と比較すると、$k = \pm m$

(3)

$(1.1)$式に $y = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k}$ と $(1)$ の結果を代入すると、

$$\begin{aligned} x^2 + \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)(n + k - 1)a_nx^{n + k -2} + x\sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)a_nx^{n + k -1} + (x^2 - m^2)\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} = 0 \\ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)(n + k - 1)a_nx^{n + k} + \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)a_nx^{n + k} - m^2\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} + \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} + \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k - 2} = 0 \\ \sum_{n = 0}^{\infty}(n + k)^2a_nx^{n + k} - m^2\sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n + k} + \sum_{n = 2}^{\infty}a_{n - 2}x^{n + k} = 0 \\ \sum_{n = 0}^{\infty}[a_n\{(n + k)^2 - m^2\} + a_{n - 2}]x^{n + k} = 0 \\ \end{aligned}$$

よって、

$$a_n\{(n + k)^2 - m^2\} + a_{n - 2} = 0$$

$$a_n = -\frac{a_{n - 2}}{(n + k)^2 - m^2}$$

ここで、(2) より、$k = \pm m$ なので、

$$\begin{align} a_n &= -\frac{a_{n - 2}}{(n \pm m)^2 - m^2} \notag\\ &= -\frac{a_{n - 2}}{n^2 \pm 2nm} \notag\\ &= -\frac{a_{n - 2}}{n(n \pm 2m)} \tag{i} \end{align}$$

したがって、$n = 2$ のとき、

$$\begin{aligned} a_2 &= -\frac{a_0}{2(2 \pm 2m)} \\ &= -\frac{a_0}{4(1 \pm m)} \end{aligned}$$

(4)

(i) 式より、

$$a_n = -\frac{a_{n - 2}}{n(n \pm 2m)} \quad (n \ge 2)$$