東京工業大学 工学院 電気電子系 2023年8月実施 電磁気学1

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Author

Zero, 祭音Myyura

Description

半径 $a$ の円筒導体 $A$ の外側を，半径 $c$ の円筒導体 $B$ で囲った同軸線路が真空中にある。同軸線路の中心軸を $z$ 軸にとり，$z$ 軸からの距離を $r$ とする。円筒導体 $A$ と $B$ はともに完全導体であり，厚みを無視できるものとする。$2$ 導体間は，半径 $r = b(a < b < c)$ の円筒面を境にして，内側は誘電率 $\varepsilon_1$, 外側は誘電率 $\varepsilon_2$ の誘電体が充填されている。同軸線路の長さ $l$ は半径 $c$ に比べて十分長く，端部効果は無視できるものとする。真空の誘電率は $\varepsilon_0$, 誘電体の透磁率は真空の透磁率 $\mu_0$ と等しいものとして，以下の問に答えよ。

(1) 図 $1.1$ のように，電圧源，抵抗，スイッチ，配線を介して，円筒導体 $A$ と $B$ の $2$ 箇所の端部を繋げて閉回路を形成し，それぞれ電流の往路と復路の同軸線路と見なす。円筒導体 $A$ を $z$ 軸の負の向きに電流 $I(I > 0)$ が，円筒導体 $B$ を $z$ 軸の正の向きに電流 $I$ が，それぞれ一様に流れている。

• ① $a < r < c$ における磁界の大きさ $H(r)$ を求めよ。
• ② $r > c$ における磁界の大きさ $H(r)$ を求めよ。
• ③ $2$ 導体間において電流経路に鎖交する磁束 $\Phi$ を求めよ。
• ④ この円筒導体 $A$ と $B$ からなる同軸線路の自己インダクタンス $L$ を求めよ。
• ⑤ この円筒導体 $A$ と $B$ からなる同軸線路が蓄えている磁気エネルギーを求めよ。同軸線路の自己インダクタンスとして $L$ を用いてよい。

(2) 次に，図 $1.2$ のように，下端部の配線のみを変更し，円筒導体 $B$ を接地して十分に時間が経過したところ，円筒導体 $A$ に電荷 $Q(Q > 0)$ が帯電した。その後，図 $1.3$ のように，スイッチをオフにした。

• ① $a < r < c$ における電束密度 $D(r)$ を求めよ。
• ② $a < r < b , b < r < c$ における電界の大きさ $E(r)$ をそれぞれ求めよ。
• ③ $r > c$ における電界の大きさ $E(r)$ を求めよ。
• ④ この円筒導体 $A$ と $B$ からなるコンデンサの静電容量 $C$ は以下の式で与えられる。

$$C = \frac{2\pi l}{\frac{1}{\varepsilon_1}\boxed{\text{(あ)}} + \frac{1}{\varepsilon_2}\boxed{\text{(い)}}}$$

       空欄（ あ ）および（ い ）に入る数式をそれぞれ答えよ。

• ⑤ この円筒導体 $A$ と $B$ からなるコンデンサが蓄えている静電エネルギーを求めよ。コンデンサの静電容量として $C$ を用いてよい。

(3) さらに，図 $1.4$ のように，この円筒導体 $B$ の外側に導体球を離して置き，その導体球に電荷 $Q\ (Q > 0)$ を与えた。この後，十分に時間が経過したときの円筒導体 $A$ の電荷量を答えよ。

(4) 最後に，この円筒導体 $B$ と導体球を接触させて十分に時間が経過した後に，導体球を離した。さらに十分に時間が経過したときの円筒導体 $B$ の電荷量を答えよ。

题目描述

真空中有一条同轴线：半径 $a$ 的圆筒导体 A 外套半径 $c$ 的圆筒导体 B，中心轴为 $z$ 轴，距轴距离为 $r$。A、B 均为厚度可忽略的完全导体。两导体之间以半径

$$r=b,\qquad a<b<c$$

的圆柱面为界：内层介质介电率为 $\varepsilon_1$，外层为 $\varepsilon_2$；两者磁导率均为 $\mu_0$。同轴线长度 $l$ 远大于 $c$，忽略端部效应；真空介电常数为 $\varepsilon_0$。

1. 如原 Description 图 1.1，通过电源、电阻、开关和配线连接 A、B 两端形成闭合回路，把二者分别视为电流往路与回路。A 上有沿 $z$ 负方向的均匀电流 $I>0$，B 上有沿 $z$ 正方向的均匀电流 $I$。

   1. 求 $a<r<c$ 时磁场强度大小 $H(r)$。
   2. 求 $r>c$ 时 $H(r)$。
   3. 求两导体间与电流回路交链的磁通 $\Phi$。
   4. 求该同轴线的自感 $L$。
   5. 求同轴线储存的磁能；可以使用自感 $L$。

2. 如图 1.2，只改变下端配线，将 B 接地并等待足够长时间，使 A 带上正电荷 $Q>0$；随后如图 1.3 断开开关。

   1. 求 $a<r<c$ 时的电位移大小 $D(r)$。

   2. 分别求 $a<r<b$、$b<r<c$ 时的电场大小 $E(r)$。

   3. 求 $r>c$ 时的电场大小 $E(r)$。

   4. 电容器电容写成

      $$C= \frac{2\pi l} {\dfrac1{\varepsilon_1}\boxed{\text{(あ)}} +\dfrac1{\varepsilon_2}\boxed{\text{(い)}}}.$$

      填写 (あ)、(い)。

   5. 求该电容器储存的静电能；可以使用电容 $C$。

3. 如图 1.4，在圆筒 B 外另放一个与其分离的导体球，给导体球正电荷 $Q>0$。等待足够长时间后，求圆筒 A 的电荷量。

4. 最后让圆筒 B 与导体球接触，等待足够长时间后再移开导体球；再次达到静电平衡时，求圆筒 B 的电荷量。

各阶段的开关、接地、连接状态以及图示相对位置均以原 Description 图 1.1 至图 1.4 为准。

考点

• 同轴线的磁场与自感：用 Ampère 环路定律分区求场，对径向截面积分求磁通、磁链、自感和磁能。
• 分层介质同轴电容：由 Gauss 定律求电位移，按各介质的介电率分区求电场与电位差，得到串联径向层的电容。
• 静电能：在开关断开、自由电荷固定后使用 $Q^2/(2C)$ 计算储能。
• 完全导体的静电屏蔽与感应电荷：依据导体内部场为零、Gaussian 面所包围净电荷及接触后的电荷守恒，判断外部带电体对内导体和外导体电荷的影响。

Kai

(1)

①

アンペールの法則より、

$$2\pi r H(r) = I \Rightarrow H(r) = \frac{I}{2\pi r}$$

②

等量異符号の電流が鎖交するので、

$$2\pi r H(r) = 0 \Rightarrow H(r) = 0$$

③

$$\begin{aligned} \Phi &= BS \\ &= l \int_a^c \mu_0 H(r)dr \\ &= l \int_a^c \frac{\mu_0 I}{2\pi r} dr \\ &= \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \log r\big |_a^c \\ &= \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \log \frac{c}{a} \end{aligned}$$

④

$\Phi = LI$ より、

$$L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_0 l}{2 \pi} \log \frac{c}{a}$$

⑤

$$\frac{1}{2}LI^2$$

(2)

①

ガウスの法則より、

$$2\pi r l \cdot D(r) = Q \Rightarrow D(r) = \frac{Q}{2\pi r l}$$

②

(i)

$$a < r < b$$

$$\varepsilon_1 E(r) = D(r) \Rightarrow E(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_1 r l}$$

(ii)

$$b < r < c$$

$$\varepsilon_2 E(r) = D(r) \Rightarrow E(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_2 r l}$$

③

接地されているので、

$$E(r) = 0$$

④

$ac$ 間の電位差 $V_{ac}$ は

$$\begin{aligned} V_{ac} &= - \int_c^b \frac{Q}{2\pi \varepsilon_2 r l} dr - \int_b^a \frac{Q}{2\pi \varepsilon_1 r l} dr \\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon_2 l}\log r\big|_b^c + \frac{Q}{2\pi \varepsilon_1 l}\log r\big|_a^b \\ &= \frac{Q}{2\pi \varepsilon_2 l} \log \frac{c}{b} + \frac{Q}{2\pi \varepsilon_1 l} \log \frac{b}{a} \\ &= \frac{Q}{2\pi l}\big(\frac{1}{\varepsilon_2} \log \frac{c}{b} + \frac{1}{\varepsilon_1} \log \frac{b}{a}\big) \\ \end{aligned}$$

$$C = \frac{Q}{V_{ac}} = \frac{2\pi l}{\frac{1}{\varepsilon_1} \log\frac{b}{a} + \frac{1}{\varepsilon_2} \log \frac{c}{b}}$$

従って、

$$\boxed{\text{(あ)}} = \log\frac{b}{a},\quad \boxed{\text{(い)}} = \log\frac{c}{b}$$

⑤

$$\frac{Q^2}{2C}$$

(3)

静電遮蔽より、$A$ の電荷量は $Q$ である。

(4)

円筒導体 $B$ は、接地されているので、電荷量は $-Q$ である。