東京工業大学 工学院 電気電子系 2023年8月実施 電気回路1

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• TITech
• Phasor-and-Impedance-Analysis
• Resistor-Inductor-Capacitor-Resonance
• Maximum-Power-Transfer

Author

Zero

Description

図 $1.1$ に示す回路について以下の問に答えよ。電源電圧 $V_S$ は角周波数 $\omega$ の正弦波交流の複素電圧であり，抵抗 $R_S$ を介して負荷に接続されている。負荷にかかる複素電圧を $V_{LD}$, 負荷に流れる複素電流を $V_{LD}$ とする。負荷に含まれるインダクタンス，キャパシタンス，および抵抗値を，それぞれ $L,C$, および $R$ とする。また，虚数単位を $j$ とする。

(1) 図 $1.1$ の負荷部分を図 $1.2$ のように表した場合の，負荷の合成アドミタンス $Y$ を求めよ。

(2) 負荷にかかる複素電圧 $V_{LD}$ を,$V_S,Y,R_S$ を用いて表せ。

(3) 負荷で消費される複素電力 $P_C$ を, $V_{LD},Y,R_S$ のうち必要なものを用いて表せ。絶対値記号を用いてもよい。

(4) インダクタンス $L$ が可変であるとするとき，角周波数 $\omega$ によらず $V_{LD}$ と $I_{LD}$ が同相となる $L$ の条件を求めよ。

(5) 問(4)の条件が満たされるとき，負荷の合成アドミタンス $Y$ を $\omega$ を用いずに表せ。

(6) 問(4)の条件が満たされるとき，負荷で消費される有効電力 $P$ が最大となる $R$ を $R_S$ を用いて表せ。

题目描述

对原 Description 图 1.1 所示交流电路回答下列问题。电源复电压 $V_S$ 为角频率 $\omega$ 的正弦量，经电阻 $R_S$ 接到负载；负载复电压为 $V_{LD}$。原 Description 在定义负载复电流处重复写成了 $V_{LD}$，但第 4 问明确使用 $I_{LD}$，以下据此把负载复电流记为 $I_{LD}$。负载含电感 $L$、电容 $C$ 和电阻 $R$，$j$ 为虚数单位；具体连接见图 1.1、1.2。

1. 把图 1.1 的负载部分按图 1.2 表示，求其总导纳 $Y$。
2. 用 $V_S,Y,R_S$ 表示负载电压 $V_{LD}$。
3. 用 $V_{LD},Y,R_S$ 中必要的量表示负载消耗的复功率 $P_C$；可以使用绝对值符号。
4. 若 $L$ 可调，求使 $V_{LD}$ 与 $I_{LD}$ 对任意角频率 $\omega$ 都同相时 $L$ 应满足的条件。
5. 在第 4 问条件下，不使用 $\omega$ 表示负载总导纳 $Y$。
6. 在第 4 问条件下，用 $R_S$ 表示使负载消耗的有功功率 $P$ 最大的 $R$。

考点

• 交流并联负载的导纳：在相量域相加电阻、电感与电容支路导纳，并由分压关系求负载电压。
• 并联谐振与功率因数：令总导纳虚部为零，使负载电压、电流同相，并化简谐振时等效电导。
• 最大功率传输：在负载为纯电阻等效时写出有功功率关于 $R$ 的函数，求与源电阻匹配的最优条件。

Kai

(1)

$$Y = \frac{1}{R + j\omega L} + \frac{1}{R + \frac{1}{j\omega C}}$$

(2)

$$\begin{aligned} V_{LD} = \frac{Z}{R_S + Z}V_Ss = \frac{\frac{1}{Y}}{R_S + \frac{1}{Y}}V_S = \frac{1}{1 + YR_S}V_S \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} P_C = V_{LD}^* I_{LD} = V_{LD}^* Y V_{LD} = Y|V_{LD}|^2 \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} I_{LD} &= YV_{LD} \\ Y &= \frac{R - j\omega L}{R + (\omega L)^2} + \frac{j\omega C}{1 + j\omega CR} \\ &= \frac{R - j\omega L}{R + (\omega L)^2} + \frac{j\omega C (1 - j\omega CR)}{1 + (\omega CR)^2} \\ &= \bigg[\frac{R}{R^2 + (\omega L)^2} + \frac{\omega^2C^2R}{1 + (\omega CR)^2}\bigg] + j\bigg[\frac{-\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} + \frac{\omega C}{1 + (\omega CR)^2}\bigg] \end{aligned}$$

虚部 $=0$ となれば良いので、

$$\begin{aligned} \frac{\omega L}{R^2 + (\omega L)^2} &= \frac{C}{1 + (\omega CR)^2} \\ L[1 + (\omega CR)^2] &= C[R^2 + (\omega L)^2] \\ L + L(\omega CR)^2 &= CR^2 + CL^2 \omega^2 \\ \end{aligned}$$

$$\omega^2[L(CR)^2 - CL^2] + L - CR^2 = 0$$

$\omega$ によらば $0$ をなるのは、

$$L(CR)^2 - CL^2 = 0$$

従って、

$$L = CR^2$$

(5)

$L = CR^2$ のとき、

$$\begin{aligned} Y &= \frac{1}{R(1 + j\omega CR)} + \frac{j\omega C}{1 + j\omega CR} \\ &= \frac{1 + j\omega CR}{R(1 + j\omega CR)} \\ &= \frac{1}{R} \end{aligned}$$

(6)

インピーダンス整合より、

$$R = R_S$$