東京工業大学 工学院 電気電子系 2022年8月実施 数学2

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祭音Myyura

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式 $(2.1)$ で与えられる関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。ただし，$-1 < x < 1$ とする。

$$\begin{align} f(x) = \frac{1}{x + 1} \tag{2.1} \end{align}$$

(1) 式 $(2.2)$ は，関数 $f(x)$ を $x = 0$ においてテイラー展開して求めた $2$ 次のテイラー多項式である。式 $(2.2)$ の $a_0,a_1,a_2$ を求めよ。

$$\begin{align} \sum_{n = 0}^2(a_nx^n) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \tag{2.2} \end{align}$$

(2) 関数 $f(x)$ を $x = 0$ においてテイラー展開し，式 $(2.3)$ の形式で表したときの $a_n$ を求めよ。

$$\begin{align} \sum_{n = 0}^{\infty} (a_nx^n) \tag{2.3} \end{align}$$

(3) (2) で求めた $a_n$ を用いて関数 $h(x,N)$ を式 $(2,4)$ で定義する。式 $(2.4)$ の右辺を計算し，式 $(2.5)$ の $\boxed{1},\boxed{2}$ に入る数式を答えよ。

$$\begin{align} h(x,N) = \sum_{n = 0}^N(a_nx^n) \tag{2.4} \end{align}$$

$$\begin{align} h(x,N) = \frac{1 - \boxed{1}}{\boxed{2}} \tag{2.5} \end{align}$$

(4) 式 $(2.5)$ を用いて，式 $(2.6)$ が成立することを示せ。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} a_0 &= \frac{f(0)}{0!} = \frac{1}{0 + 1} = 1 \\ a_1 &= \frac{f'(0)}{1!} = -\frac{1}{(x + 1)^2}\bigg|_{x = 0} = -1 \\ a_2 &= \frac{f''(0)}{2!} = \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^4} \cdot \frac{1}{2!}\bigg|_{x = 0} = 1 \end{aligned}$$

(2)

$$a_n = (-1)^n$$

(3)

$$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{N}(-1)^nx^n &= \sum_{n = 0}^N(-x)^n = \frac{1 - (-x)^{N+1}}{1 + x} \end{aligned}$$

従って、

$$\boxed{1} = (-x)^{N+1},\boxed{2} = 1 + x$$

(4)

$$\begin{aligned} \lim_{N \rightarrow \infty} h(x,N) &= \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1 - (-x)^{N+1}}{1 + x} \\ &= \frac{1}{1 + x} \qquad(\because |x| < 1) \end{aligned}$$