東京工業大学 工学院 電気電子系 2022年8月実施 数学1

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祭音Myyura

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式 で与えられる微分方程式について，以下の問に答えよ。ただし は の関数であり， と は実数の定数である。

(1) 式(1.1)について特性方程式を用いて の一般解を求めると，定数 を用いて，式 の形で表すことができるとする。このとき， と のそれぞれを と を用いて表せ。

(2) 式 の特性方程式が つの異なる実数解を持ち，かつ において が収束する の条件と の条件をそれぞれ示せ。

(3) 式 の特性方程式が つの異なる虚数解を持つとき, の一般解は式(1.2)を変形して，式 と表すことができる。式 の空欄 にあてはまる数式を， および虚数単位 のうち必要なものを用いて示せ。

(4) 式 の特性方程式が重解を持つときを考える。 において， であった。このときの の特殊解を求めよ。答は を用いずに示せ。

(5) の場合，(4) で求めた が極大となる と，そのときの の極大値を示せ。

Kai

(1)

よって、

(2)

(3)

ゆえに、

(4)

において， であったことより、

を得られて、 であることがわかる。ゆえに、

(5)