東京工業大学 工学院 電気電子系 2022年8月実施 電磁気学2 Author Zero
Description 正の電荷 q q q m m m
(1) 図 2.1 2.1 2.1 B B B E E E ( 0 ≤ y ≤ y 1 ) (0 \le y \le y_1) ( 0 ≤ y ≤ y 1 ) − x -x − x ( y > y 1 ) (y > y_1) ( y > y 1 ) B B B
y = 0 y = 0 y = 0 + y +y + y v 0 v_0 v 0 + y +y + y
① 荷電粒子が磁場および電場から受ける力の大きさと方向をそれぞれ求めよ。
② 荷電粒子が + y +y + y v 0 v_0 v 0
次に，荷電粒子が電場のない領域 II に飛び出した後の運動を考える。
③ 領域 II 内での荷電粒子の軌跡の概略図を描け。ただし，荷電粒子が領域 I と領域 II の境界に戻ってくるまでの軌跡でよい。
④ 領域 II に飛び出した荷電粒子が，領域 I と領域 II の境界に戻ってくるまでに到達する y y y y = y max y = y_{\max} y = y m a x y = 0 y = 0 y = 0 y = y max y = y_{\max} y = y m a x
(2) 図 2.2 2.2 2.2 B B B E E E + y +y + y t = 0 t = 0 t = 0 O O O 0 0 0
① 時刻 t ≥ 0 t \ge 0 t ≥ 0 x x x y y y v x , v y v_x,v_y v x , v y x x x y y y ( ア ) \boxed{(ア)} ( ア ) ( イ ) \boxed{(イ)} ( イ )
m d v x d t = ( ア ) m d v y d t = ( イ ) \begin{align}
m\frac{dv_x}{dt} = \boxed{(ア)} \tag{2.1} \\
m\frac{dv_y}{dt} = \boxed{(イ)} \tag{2.2}
\end{align} m d t d v x = ( ア ) m d t d v y = ( イ ) ( 2.1 ) ( 2.2 ) ② 式 (2.1) および式 (2.2) から v x v_x v x v y v_y v y ω = q B m \omega = \frac{qB}{m} ω = m qB ω \omega ω
③ v x , v y v_x,v_y v x , v y ( ウ ) ∼ ( カ ) \boxed{(ウ)} \sim \boxed{(カ)} ( ウ ) ∼ ( カ ) ω \omega ω
v x = ( ウ ) [ 1 − cos ( ( エ ) ) ] v y = ( オ ) sin ( ( カ ) ) \begin{align}
v_x &= \boxed{(ウ)}\big[1 - \cos(\boxed{(エ)})\big] \tag{2.3} \\
v_y &= \boxed{(オ)} \sin(\boxed{(カ)}) \tag{2.4}
\end{align} v x v y = ( ウ ) [ 1 − cos ( ( エ ) ) ] = ( オ ) sin ( ( カ ) ) ( 2.3 ) ( 2.4 ) ④ 荷電粒子が到達する y y y y = y max y = y_{\max} y = y m a x ω \omega ω
题目描述
质量为 m m m q q q
如原 Description 图 2.1，区域 I 为 0 ≤ y ≤ y 1 0\leq y\leq y_1 0 ≤ y ≤ y 1 B B B E E E − x -x − x y > y 1 y>y_1 y > y 1
粒子从 y = 0 y=0 y = 0 v 0 v_0 v 0 + y +y + y + y +y + y
分别求粒子所受磁场力与电场力的大小和方向。
求粒子能沿 + y +y + y v 0 v_0 v 0
粒子进入无电场的区域 II 后，画出它直到再次回到 I、II 边界为止的轨迹概略图。
设粒子在区域 II 达到的最大 y y y y max y_{\max} y m a x y = 0 y=0 y = 0 y = y max y=y_{\max} y = y m a x
如图 2.2，仍有方向垂直纸面由外向里、磁感应强度为 B B B + y +y + y E E E t = 0 t=0 t = 0 0 0 0
对 t ≥ 0 t\geq0 t ≥ 0 v x , v y v_x,v_y v x , v y
m d v x d t = (ア) , (2.1) m\frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dt}=\boxed{\text{(ア)}},
\tag{2.1} m d t d v x = ( ア ) , ( 2.1 ) m d v y d t = (イ) . (2.2) m\frac{\mathrm dv_y}{\mathrm dt}=\boxed{\text{(イ)}}.
\tag{2.2} m d t d v y = ( イ ) . ( 2.2 )
从 (2.1)、(2.2) 消去 v x v_x v x v y v_y v y
ω = q B m , \omega=\frac{qB}{m}, ω = m qB , 答案中使用 ω \omega ω
补全速度表达式
v x = (ウ) [ 1 − cos ( (エ) ) ] , (2.3) v_x=\boxed{\text{(ウ)}}
\left[1-\cos\big(\boxed{\text{(エ)}}\big)\right],
\tag{2.3} v x = ( ウ ) [ 1 − cos ( ( エ ) ) ] , ( 2.3 ) v y = (オ) sin ( (カ) ) , (2.4) v_y=\boxed{\text{(オ)}}
\sin\big(\boxed{\text{(カ)}}\big),
\tag{2.4} v y = ( オ ) sin ( ( カ ) ) , ( 2.4 ) 答案中使用 ω \omega ω
用 ω \omega ω y max y_{\max} y m a x
Lorentz 力与速度选择器：用 q ( E + v × B ) q(\boldsymbol E+\boldsymbol v\times\boldsymbol B) q ( E + v × B )
均匀磁场中的圆周运动：由磁力提供向心力求轨道半径、轨迹方向和最大纵向位移，并用功－能关系处理分区运动。
正交电磁场中的回旋漂移：联立两个速度分量方程，求 cycloid 型速度与位置，并确定回旋频率及最大 y y y
Kai (1)
①
磁場: f = q v 0 B , x f = qv_0B,x f = q v 0 B , x
電場: F = q E , x F = qE,x F = qE , x
力のつり合いより、
q v 0 B = q E ⇒ v 0 = E B qv_0B = qE \Rightarrow v_0 = \frac{E}{B} q v 0 B = qE ⇒ v 0 = B E
m v 0 2 r = q v 0 B ⇒ r = m v 0 q B m\frac{v_0^2}{r} = qv_0B \Rightarrow r = \frac{mv_0}{qB} m r v 0 2 = q v 0 B ⇒ r = qB m v 0 ( − m v 0 q B , y 1 ) (-\frac{mv_0}{qB},y_1) ( − qB m v 0 , y 1 ) m v 0 q B \frac{mv_0}{qB} qB m v 0
y max = y 1 + m v 0 q B y_{\max} = y_1 + \frac{mv_0}{qB} y m a x = y 1 + qB m v 0 また、円運動の中心方向に外力がカロれるので、進行方向との内積は 0 0 0 0 0 0
(2)
{ m d v x d t = q v y B m d v y d t = − q v x B + q E \left \{
\begin{aligned}
m\frac{dv_x}{dt} &= qv_yB \\
m\frac{dv_y}{dt} &= -qv_xB + qE \\
\end{aligned}
\right. ⎩ ⎨ ⎧ m d t d v x m d t d v y = q v y B = − q v x B + qE ( ア ) = q v y B , ( イ ) = q E − q v x B \boxed{(ア)} = qv_yB,\quad \boxed{(イ)} = qE - qv_xB ( ア ) = q v y B , ( イ ) = qE − q v x B { d v x d t = ω v y d v y d t = − ω v x + q E m \left \{
\begin{align}
\frac{dv_x}{dt} &= \omega v_y \qquad \tag{1} \\
\frac{dv_y}{dt} &= -\omega v_x + \frac{qE}{m} \notag \\
\end{align}
\right. ⎩ ⎨ ⎧ d t d v x d t d v y = ω v y = − ω v x + m qE ( 1 ) (1) 式に代入、
− 1 ω d 2 v y d t 2 = ω v y ⇒ d 2 v y d t 2 + ω 2 v y = 0 \begin{align}
-\frac{1}{\omega} \frac{d^2v_y}{dt^2} = \omega v_y \Rightarrow \frac{d^2v_y}{dt^2} + \omega^2v_y = 0 \tag{2}
\end{align} − ω 1 d t 2 d 2 v y = ω v y ⇒ d t 2 d 2 v y + ω 2 v y = 0 ( 2 ) (2) 式の特性方程式は、
λ 2 + ω 2 = 0 , λ = ± λ ω \lambda^2 + \omega^2 = 0,\lambda = \pm \lambda \omega λ 2 + ω 2 = 0 , λ = ± λω v y = C 1 cos ω t + C 2 sin ω t v_y = C_1\cos\omega t + C_2\sin\omega t v y = C 1 cos ω t + C 2 sin ω t v y ∣ t = 0 = 0 = C 1 ⇒ v y = C 2 sin ω t v_y|_{t = 0} = 0 = C_1 \Rightarrow v_y = C_2\sin\omega t v y ∣ t = 0 = 0 = C 1 ⇒ v y = C 2 sin ω t ω C 2 cos ω t = − ω v x + q E m ⇒ v x = − C 2 cos ω t + q E ω m \omega C_2\cos\omega t = -\omega v_x + \frac{qE}{m} \Rightarrow v_x = -C_2\cos\omega t + \frac{qE}{\omega m} ω C 2 cos ω t = − ω v x + m qE ⇒ v x = − C 2 cos ω t + ωm qE v x ∣ t = 0 = 0 = − C 2 + q E ω m ⇒ C 2 = q E m ω = E B v_x|_{t = 0} = 0 = - C_2 + \frac{qE}{\omega m} \Rightarrow C_2 = \frac{qE}{m\omega} = \frac{E}{B} v x ∣ t = 0 = 0 = − C 2 + ωm qE ⇒ C 2 = mω qE = B E v y = E B sin ω t , v x = − E B cos ω t + E B = E B ( 1 − cos ω t ) v_y = \frac{E}{B}\sin\omega t ,\quad v_x = -\frac{E}{B}\cos\omega t + \frac{E}{B} = \frac{E}{B}(1 - \cos\omega t) v y = B E sin ω t , v x = − B E cos ω t + B E = B E ( 1 − cos ω t ) 従って、
( ウ ) = E B , ( エ ) = ω t , ( オ ) = E B , ( カ ) = ω t \boxed{(ウ)} = \frac{E}{B},\boxed{(エ)} = \omega t,\boxed{(オ)} = \frac{E}{B},\boxed{(カ)} = \omega t ( ウ ) = B E , ( エ ) = ω t , ( オ ) = B E , ( カ ) = ω t y = ∫ E B sin ω t d t = E ω B [ − cos ω t ] + C y = \int\frac{E}{B} \sin\omega t dt = \frac{E}{\omega B}[-\cos\omega t] + C y = ∫ B E sin ω t d t = ω B E [ − cos ω t ] + C y ∣ t = 0 = 0 = − E ω B + C y|_{t = 0} = 0 = -\frac{E}{\omega B} + C y ∣ t = 0 = 0 = − ω B E + C ∴ C = E ω B \therefore C = \frac{E}{\omega B} ∴ C = ω B E y = − E ω B cos ω t + E ω B = E ω B ( 1 − cos ω t ) y = -\frac{E}{\omega B}\cos\omega t + \frac{E}{\omega B} = \frac{E}{\omega B}(1 - \cos\omega t) y = − ω B E cos ω t + ω B E = ω B E ( 1 − cos ω t ) y max = 2 E ω B ( ∵ ω t = π ) y_{\max} = \frac{2E}{\omega B}\quad (\because \omega t = \pi) y m a x = ω B 2 E ( ∵ ω t = π ) 
