東京工業大学工学院電気電子系 2021年8月実施数学2

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微分方程式に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。

(1) 式 $(2.1)，(2.2)$ で与えられる微分方程式をそれぞれ解き， $y$ の一般解を求めよ。ただし， $y$ は $x$ の関数とする。

\begin{align} &a) \quad \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} \tag{2.1} \\ &b) \quad \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 8y = 0 \tag{2.2} \\ \end{align}

(2) 式 $(2.3)$ で与えられる微分方程式がある。ただし， $y$ は $x$ の関数とする。

\begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 8y = e^{-\alpha} \tag{2.3} \end{align}

回答下列微分方程问题，并写出推导过程。

设 $y$ 为 $x$ 的函数，分别求下列方程的通解：
1. $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+y=e^{-x}; \tag{2.1}$
2. $\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} -2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-8y=0. \tag{2.2}$
考虑方程

$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} -2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-8y=e^{-\alpha}. \tag{2.3}$

这里右端严格按原 Description 记为与 $x$ 无关的 $e^{-\alpha}$ 。
1. 当 $\alpha=1$ 时，求 $y$ 的通解。
2. 当 $\alpha=2$ 时，求 $y$ 的通解。

与えられた微分方程式 (2.1) の右辺を $0$ にした

\begin{aligned} \frac{dy}{dx} + y = 0 \end{aligned}

の一般解は、任意定数を $A$ として $y = Ae^{-x}$ である。そこで、(2.1) に $y=A(x)e^{-x}$ を代入すると、

\begin{aligned} \frac{dA(x)}{dx} &= 1 \\ \therefore \ \ A(x) &= x + C \end{aligned}

を得る。よって、 (2.1) の一般解は、 $C$ を任意定数として、

\begin{aligned} y &= (x + C)e^{-x} \end{aligned}

$y=e^{\lambda x}$ を (2.2) に代入すると、

\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda - 8 &= 0 \\ (\lambda - 4)(\lambda + 2) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= -2, 4 \end{aligned}

なので、 (2.2) の一般解は、 $A, B$ を任意定数として、

\begin{aligned} y = A e^{-2x} + B e^{4x} \end{aligned}

(2.3) で $\alpha=1$ とした方程式に、 $y=Ce^{-x}$ を代入すると、 $C = -1/5$ となる。よって、一般解は、 $A, B$ を任意定数として、

\begin{aligned} y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{5} e^{-x} \end{aligned}

(2.3) で $\alpha=2$ とした方程式に、 $y=Cxe^{-2x}$ を代入すると、 $C = -1/6$ となる。よって、一般解は、 $A, B$ を任意定数として、

\begin{aligned} y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{6} xe^{-2x} \end{aligned}