東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 数学1

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祭音Myyura

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が有限で絶対積分可能な実関数 に対して，フーリエ変換 を

とする。ただし， を虚数単位とし，関数 ,そのフーリエ変換 は， 階微分可能とする。以下の問に答えよ。なお，導出過程も示すこと。また，関数 の導関数 , をそれぞれ と表記してもよい。

(1) 次の関数 のフーリエ変換 を関数 のフーリエ変換 を用いて表せ。

(2) 関数 が次の微分方程式の解であるとき，関数 のフーリエ変換 が満足する微分方程式を示せ。ただし， は実数の定数である。

(3) 関数 が次の微分方程式の解であるとする。ただし， は 以上の整数である。

(a) 関数 が と表せるとき，関数 が満足する微分方程式を示せ。

(b) 上記の で求めた微分方程式の特殊解 は， 次のエルミート多項式とよばれる。 が満足する漸化式を求めよ。

Kai

(1)

(a)

(b)

(2)

(3)

(a)

式へ代入すると、

(b)

式に代入すると、

従って、