東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 電磁気学2 Author Zero
Description 図 2.1 2.1 2.1 x x x a a a b b b a ≫ b a \gg b a ≫ b x x x ε 0 , μ 0 \varepsilon_0,\mu_0 ε 0 , μ 0
(1) 電源は直流電流源とし，負荷は短絡とすることで，上の導体に + I +I + I − I -I − I x x x y y y
(a) 平板間の空間における磁束密度の大きさを答えよ。また，磁束密度の向きは x , y , z x,y,z x , y , z
(b) 線路の単位長さあたりのインダクタンス L L L
(2) 電源は直流電圧源とし，負荷は開放とすることで，上および下の導体に，それぞれ単位長さあたり電荷密度 + σ , − σ +\sigma , -\sigma + σ , − σ y y y
(c) 平板間の空間における電界の大きさを答えよ。また，電界の向きは x , y , z x,y,z x , y , z
(d) 線路の単位長さあたりのキャパシタンス C C C
(3) 電源は交流電流源とし，負荷は右端部で電流の反射が無いよう整合負荷とした。このとき，線路上の位置 x x x t t t ω \omega ω + I 0 cos ( ω t − k x ) +I_0\cos(\omega t - kx) + I 0 cos ( ω t − k x ) − I 0 cos ( ω t − k x ) -I_0\cos(\omega t - kx) − I 0 cos ( ω t − k x ) x x x x x x y y y k k k
(e) 平板間の空間における磁束密度 B ( x , t ) B(x,t) B ( x , t )
(f) 電流連続の式より，上の導体の単位長さあたりの電荷密度 σ ( x , t ) \sigma(x,t) σ ( x , t )
(g) (f) で求めた電荷密度 σ ( x , t ) \sigma(x,t) σ ( x , t ) E ( x , t ) E(x,t) E ( x , t )
(h) (e) と (g) で求めた磁束密度 B ( x , t ) B(x,t) B ( x , t ) E ( x , t ) E(x,t) E ( x , t ) ε 0 , μ 0 , ω , k \varepsilon_0,\mu_0,\omega,k ε 0 , μ 0 , ω , k ε 0 , μ 0 \varepsilon_0,\mu_0 ε 0 , μ 0
题目描述
考虑原 Description 图 2.1 所示、在真空中沿 x x x a a a b b b a ≫ b a\gg b a ≫ b x x x ε 0 , μ 0 \varepsilon_0,\mu_0 ε 0 , μ 0
电源为直流电流源，负载短路；上、下导体分别有沿 x x x + I , − I +I,-I + I , − I y y y
求板间磁感应强度的大小，并指出其方向与 x , y , z x,y,z x , y , z
求传输线单位长度电感 L L L
电源改为直流电压源，负载开路；上、下导体分别出现单位长度电荷 + σ , − σ +\sigma,-\sigma + σ , − σ y y y
求板间电场大小，并指出其方向与哪一坐标轴平行。
求传输线单位长度电容 C C C
电源改为交流电流源，右端接无电流反射的匹配负载。在位置 x x x t t t x x x
+ I 0 cos ( ω t − k x ) , − I 0 cos ( ω t − k x ) , +I_0\cos(\omega t-kx),\qquad
-I_0\cos(\omega t-kx), + I 0 cos ( ω t − k x ) , − I 0 cos ( ω t − k x ) , 且沿 y y y k k k x x x
求板间磁感应强度 B ( x , t ) B(x,t) B ( x , t )
由电流连续性方程求上导体的单位长度电荷密度 σ ( x , t ) \sigma(x,t) σ ( x , t )
由 σ ( x , t ) \sigma(x,t) σ ( x , t ) E ( x , t ) E(x,t) E ( x , t )
对所得 B ( x , t ) , E ( x , t ) B(x,t),E(x,t) B ( x , t ) , E ( x , t ) ε 0 , μ 0 , ω , k \varepsilon_0,\mu_0,\omega,k ε 0 , μ 0 , ω , k ε 0 , μ 0 \varepsilon_0,\mu_0 ε 0 , μ 0
平行板传输线的场与分布参数：用 Ampère 定律和 Gauss 定律求板间均匀磁场、电场，再由能量或磁通、电荷关系求单位长度 L , C L,C L , C
电荷连续性：把沿线位置变化的交流电流与单位长度电荷的时间变化联系起来，确定行波电荷相位。
电磁波 Maxwell 方程：将板间 TEM 波的 E , B E,B E , B
阻抗匹配下的行波：利用无反射条件只保留向 + x +x + x
Kai (1)
(a)
アンペールの法則より、上下の平板が作る磁界は、
H y = I 2 a ⋅ 2 = I a H_y = \frac{I}{2a} \cdot 2 = \frac{I}{a} H y = 2 a I ⋅ 2 = a I 従って、
B y = μ 0 I a y 軸正方向 B_y = \frac{\mu_0I}{a} \quad \text{$y$軸正方向} B y = a μ 0 I y 軸正方向 (b)
φ = B S = μ 0 I a ⋅ b = μ 0 I b a \varphi = BS = \frac{\mu_0I}{a} \cdot b = \frac{\mu_0Ib}{a} φ = BS = a μ 0 I ⋅ b = a μ 0 I b よって、φ = L I \varphi = LI φ = L I L = φ I = μ 0 b a L = \frac{\varphi}{I} = \frac{\mu_0b}{a} L = I φ = a μ 0 b
(2)
(c)
ε 0 E = σ ⇒ E = σ ε 0 \varepsilon_0E = \sigma \Rightarrow E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} ε 0 E = σ ⇒ E = ε 0 σ (d)
E = Q ε 0 a , V = E b = b ε 0 a Q E = \frac{Q}{\varepsilon_0a},V = Eb = \frac{b}{\varepsilon_0a}Q E = ε 0 a Q , V = E b = ε 0 a b Q C = Q V = ε 0 a b C = \frac{Q}{V} = \frac{\varepsilon_0a}{b} C = V Q = b ε 0 a (3)
(e)
B ( x , t ) = μ 0 a I 0 cos ( ω t − k x ) B(x,t) = \frac{\mu_0}{a}I_0\cos(\omega t - kx) B ( x , t ) = a μ 0 I 0 cos ( ω t − k x ) (f)
y ‾ = I 0 a cos ( ω t − k x ) x ^ \overline{y} = \frac{I_0}{a}\cos(\omega t - kx)\hat{x} y = a I 0 cos ( ω t − k x ) x ^ div y ‾ = d I d x = I 0 k a sin ( ω t − k x ) \text{div}\ \overline{y} = \frac{dI}{dx} = \frac{I_0k}{a}\sin(\omega t - kx) div y = d x d I = a I 0 k sin ( ω t − k x ) 電流連続の式より、
div y ‾ = − ∂ σ ∂ t \text{div}\ \overline{y} = -\frac{\partial \sigma}{\partial t} div y = − ∂ t ∂ σ I 0 k a sin ( ω t − k x ) = − ∂ σ ∂ t \frac{I_0k}{a}\sin(\omega t - kx) = -\frac{\partial \sigma}{\partial t} a I 0 k sin ( ω t − k x ) = − ∂ t ∂ σ σ = − k I 0 a ∫ sin ( ω t − k x ) d t = k I 0 ω a cos ( ω t − k x ) \begin{aligned}
\sigma &= -\frac{kI_0}{a}\int \sin(\omega t - kx)dt \\
&= \frac{kI_0}{\omega a} \cos(\omega t - kx)
\end{aligned} σ = − a k I 0 ∫ sin ( ω t − k x ) d t = ωa k I 0 cos ( ω t − k x ) (g)
E ( x , t ) = σ ε 0 = k I 0 ε 0 a ω cos ( ω t − k x ) E(x,t) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{kI_0}{\varepsilon_0a\omega} \cos(\omega t - kx) E ( x , t ) = ε 0 σ = ε 0 aω k I 0 cos ( ω t − k x ) (h)
E ( x , t ) = − k I 0 a ε 0 ω cos ( ω t − k x ) z ^ rot E = k I 0 a ε 0 ω ⋅ ∂ ∂ x cos ( ω t − k x ) y ^ = I 0 k 2 a ε 0 ω sin ( ω t − k x ) y ^ ∂ B ∂ t = − μ 0 I 0 ω a sin ( ω t − k x ) y ^ rot E = − ∂ B ∂ t \begin{aligned}
E(x,t) &= -\frac{kI_0}{a\varepsilon_0\omega}\cos(\omega t - kx)\hat{z} \\
\text{rot}\mathbb{E} &= \frac{kI_0}{a\varepsilon_0\omega} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \cos(\omega t - kx)\hat{y} \\
&= \frac{I_0k^2}{a\varepsilon_0\omega} \sin(\omega t - kx)\hat{y} \\
\frac{\partial \mathbb{B}}{\partial t} &= -\frac{\mu_0I_0\omega}{a}\sin(\omega t - kx)\hat{y} \\
\text{rot}\mathbb{E} &= -\frac{\partial \mathbb{B}}{\partial t}
\end{aligned} E ( x , t ) rot E ∂ t ∂ B rot E = − a ε 0 ω k I 0 cos ( ω t − k x ) z ^ = a ε 0 ω k I 0 ⋅ ∂ x ∂ cos ( ω t − k x ) y ^ = a ε 0 ω I 0 k 2 sin ( ω t − k x ) y ^ = − a μ 0 I 0 ω sin ( ω t − k x ) y ^ = − ∂ t ∂ B I 0 k 2 a ε 0 ω sin ( ω t − k x ) y ^ = μ 0 I ω a sin ( ω t − k x ) y ^ \frac{I_0k^2}{a\varepsilon_0\omega}\sin(\omega t - kx)\hat{y} = \frac{\mu_0I\omega}{a}\sin(\omega t - kx)\hat{y} a ε 0 ω I 0 k 2 sin ( ω t − k x ) y ^ = a μ 0 I ω sin ( ω t − k x ) y ^ 従って、
ω 2 k 2 = 1 ε 0 μ 0 ⇒ v = ω k = 1 ε 0 μ 0 \frac{\omega^2}{k^2} = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}\Rightarrow v = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} k 2 ω 2 = ε 0 μ 0 1 ⇒ v = k ω = ε 0 μ 0 1 