東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 電磁気学1

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• Capacitance-and-Electrostatic-Energy
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Author

Zero

Description

完全導体からなる円筒状電極をもつ長さ $l$ の同軸コンデンサについて，以下の問に答えよ。問 (1)～(2) を通して，導体の厚さは十分薄く，無視できる。また，円筒端部における電界の乱れは無視し，円筒部分のみがキャパシタンスに寄与するものとする。真空の誘電率は $\varepsilon_0$ を用いよ。

(1) 図 $1.1$ のように，真空中におかれた，半径 $a,b$ を持つ $2$ つの円筒状電極に電圧 $V$ が印加されている。円筒の長さ $l$ は外側の円筒の直径よりも十分に長い ($l \gg 2b$) とする。

• (a) 印加電圧 $V$ によって，内側および外側の円筒に，それぞれ単位長さあたり $+q$ および $-q$ の電荷が誘起されるとする。このとき，円筒の中心軸から垂直方向に距離 $d(a < d < b)$ 離れた点 $P$ における電界強度を求めよ。

• (b) 点 $P$ における電位を求めよ。

• (c) $2$ つの円筒間の単位長さあたりのキャパシタンスを求めよ。

• (d) 図 $1.2$ のように，中心軸からの距離 $d$ とともに誘電率が変化する誘電体で $2$ つの円筒間を満たすと，電界が $d$ によらず一定となった。このとき，誘電率が距離 $d$ に対してどのように変化するか説明せよ。

(2) 図 $1.3$ のように，真空中におかれた，半径 $a,b,c(a < b < c)$ を持つ $3$ つの円筒状電極 $A,B,C$ からなる同軸コンデンサを考える。内側の円筒 $A$ と外側の円筒 $C$ は細い導線で接続され，接地されている。円筒の長さ $l$ はもっとも外側の円筒の直径よりも十分に長い $(l \gg 2c)$ とする。

• (e) 円筒 $A$ と円筒 $C$ につながる端子 $1$ と円筒 $B$ につながる端子 $2$ との間の単位長さあたりのキャパシタンスを求めよ。

• (f) 円筒 $B$ に単位長さあたり $q$ の正電荷があるとき，円筒 $A$ と円筒 $C$ に誘起される単位長さあたりの電荷量を，それぞれ符号を含めて求めよ。

题目描述

考虑长度为 $l$、由完全导体薄圆筒电极组成的同轴电容器。两问中导体厚度均可忽略；忽略圆筒端部的场畸变，只有圆筒侧面部分贡献电容。真空介电常数为 $\varepsilon_0$。

1. 如原 Description 图 1.1，真空中有半径分别为 $a,b$ 的两层同轴圆筒电极，端间施加电压 $V$，且

   $$l\gg2b.$$
   1. 电压使内、外圆筒单位长度分别感应 $+q$、$-q$ 的电荷。求距中心轴垂直距离为 $d$、其中 $a<d<b$ 的点 P 处电场强度。
   2. 求点 P 的电位。
   3. 求两圆筒间单位长度的电容。
   4. 如图 1.2，用介电率随轴距 $d$ 变化的介质填满两圆筒之间后，电场变为与 $d$ 无关的常量。说明介电率应怎样随 $d$ 变化。

2. 如图 1.3，真空中有半径 $a<b<c$ 的三层同轴圆筒电极 A、B、C。内层 A 与外层 C 由细导线相连并接地，且

   $$l\gg2c.$$
   1. 求连接 A、C 的端子 1 与连接 B 的端子 2 之间的单位长度电容。
   2. 当 B 上有单位长度 $q$ 的正电荷时，分别求 A、C 上感应的单位长度电荷量，答案须含符号。

考点

• 同轴结构中的 Gauss 定律：由单位长度自由电荷求径向电位移和电场，再对半径积分得到电位差。
• 同轴电容与介质分布：推导单位长度电容，并由恒定电场反求介电率随半径的变化规律。
• 多导体电容网络：把 B 与 A、C 形成的两只同轴电容并联，利用共同接地电位和电荷分配求总电容及感应电荷。

Kai

(1)

(a)

ガウスの法則より、

$$2\pi d \cdot L \cdot E = \frac{q}{\varepsilon_0}L$$

$$E = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0d}$$

(b)

$$\begin{aligned} V &= -\int_a^b \frac{q}{2\pi\varepsilon_0r}dr \\ &= \frac{q}{2\pi\varepsilon_0}\big[\log r\big]_d^a \\ &= \frac{q}{2\pi\varepsilon_0}\log \frac{a}{b} \end{aligned}$$

$$q = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\log\frac{a}{b}}V$$

従って、

$$\begin{aligned} V_d &= -\int_b^d \frac{1}{2\pi\varepsilon_0 r} \cdot \frac{2\pi\varepsilon_0 V}{\log \frac{a}{b}}dr \\ &= \frac{V}{\log\frac{a}{b}}\big[\log r\big]_d^b \\ &= \frac{\log\frac{b}{d}}{\log \frac{a}{b}}V \end{aligned}$$

(c)

$$c = \frac{q}{V} = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\log\frac{b}{a}}$$

(d)

$E = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0 d} = c\quad(c = \text{const})$ より、$\varepsilon = \frac{q}{2\pi cd} = \frac{c'}{d} \quad (c' = \text{const})$。誘電率は、$d$ に反比例する。

(2)

(e)

円筒 $B$ に電荷 $Q$ を与え、内側に $Q_1$, 外側に $Q_2$ が生じるとする。(単位長さ当たり)

このとき、$b < r < c$ における電界 $E_2$ は,ガウスの法則より、

$$\begin{aligned} E_2 = \frac{Q_2}{2\pi \varepsilon_0 r},V &= -\int_c^b \frac{Q_2}{2\pi\varepsilon_0 r}dr \\ &= \frac{Q_2}{2\pi \varepsilon_0}\big[\log r\big]_b^r \\ &= \frac{Q_2}{2\pi\varepsilon_0}\log\frac{c}{b} \end{aligned}$$

$$Q_2 = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\log\frac{c}{b}}V$$

また、$a < r < b$ における電界 $E_1$ は,ガウスの法則より、

$$E_1 = \frac{Q_1}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

$$\begin{aligned} V &= -\int_a^b -\frac{Q_1}{2\pi \varepsilon_0 r} dr \\ &= \frac{Q_1}{2\pi\varepsilon_0}\big[\log r\big]_a^b \\ &= \frac{Q_1}{2\pi\varepsilon_0} \log \frac{b}{a} \end{aligned}$$

$$Q_1 = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\log\frac{b}{a}}V$$

よって、

$$Q = Q_1 + Q_2 = \frac{2\pi\varepsilon_0}{\log \frac{b}{a}}V + \frac{2\pi\varepsilon_0}{\log\frac{c}{b}}V = 2\pi\varepsilon_0 V\bigg(\frac{1}{\log\frac{c}{b}} + \frac{1}{\log\frac{b}{a}}\bigg)$$

$$c = \frac{Q}{V} = 2\pi\varepsilon_0 \bigg(\frac{1}{\log\frac{c}{b}} + \frac{1}{\log\frac{b}{a}}\bigg)$$

(f)

$Q \rightarrow q$ として、円筒 $A$ と円筒 $C$それぞれに誘起される単位長さあたりの電荷量を $Q_A,Q_C$ とすると、

$$V = \frac{q}{2\pi\varepsilon_0(\frac{1}{\log\frac{c}{b}} + \frac{1}{\log\frac{b}{a}})}$$

$$Q_A = -q_1 = -\frac{\log\frac{c}{b}}{\log\frac{b}{a} + \log\frac{c}{b}}q$$

$$Q_C = -q_2 = -\frac{\log\frac{b}{a}}{\log\frac{b}{a} + \log\frac{c}{b}}q$$