東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 電気回路2

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Zero

Description

図 $2.1$ に示すインダクタンス $L$ とキャパシタンス $C$ の並列回路に，以下の式で与えられる二つの異なる周波数成分を持つ電圧 $e_1(t)$ を印加する。ただし $t$ は時刻である。電圧，電流の数値の単位は，それぞれ V,A とする。

$$e_1(t) = 100\sqrt{2}\sin(500t) + \frac{100\sqrt{2}}{3}\sin(1500t)$$

$L = 10$ mH,$C = 300\mu$ F として，以下の問に答えよ。なお，数値については小数点以下を四捨五入して整数で答えよ。

重ね合わせの理を用いて電流を求める。まず，$500$ rad/s 成分のみに着目する。

(1) $500$ rad/s 成分のみの電圧によってインダクタに流れる電流の実効値を求めよ。

(2) 同様にキャパシタに流れる電流の実効値を求めよ。

(3) 以上の結果から，電源に流れる電流の実効値 $I_1$ を求めよ。

次に，$1500$ rad/s 成分のみの計算を行う。

(4) この成分により電源に流れる電流の実効値 $I_3$ を求めよ。

以上の結果から電源の電流 $i(t)$ の実効値を算出する。周期 $T$ の周期関数 $i(t)$ の実効値 $I_{rms}$ は以下の式で与えられる。

$$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i(t)^2dt}$$

(5) いま，$i(t) = \sqrt{2}I_1\sin(\omega t) + \sqrt{2}I_3\sin(3\omega t)$ とし，$I_{rms}$ を計算し，$I_1$ と $I_3$ を用いて表せ。

(6) $500$ rad/s 成分と $1500$ rad/s 成分両方によって流れる電源の電流の実効値を求めよ。

次に，図 $2.2$ に示すように以下の式で与えられる電圧 $e_2(t),e_3(t)$ を持つ電源を追加し，さらに，図 $2.1$ と等しい負荷を $Y$ 接続して，$3$ 本の電線で電源に接続する。

$$\begin{aligned} e_2(t) &= 100\sqrt{2}\sin(500t + \frac{2\pi}{3}) + \frac{100\sqrt{2}}{3}\sin(100t) \\ e_3(t) &= 100\sqrt{2}\sin(500t + \frac{4\pi}{3}) + \frac{100\sqrt{2}}{3}\sin(100t) \\ \end{aligned}$$

(7) $500$ rad/s 成分の線間電圧の実効値を求めよ。

(8) 電線 $U$ に流れる電流の実効値を求めよ。

题目描述

如原 Description 图 2.1，把含两个不同频率分量的电压

$$e_1(t) =100\sqrt2\sin(500t) +\frac{100\sqrt2}{3}\sin(1500t)$$

加在电感 $L$ 与电容 $C$ 的并联负载上。取

$$L=10\ \mathrm{mH},\qquad C=300\ \mu\mathrm F.$$

电压、电流数值单位分别为 V、A；所有数值答案均对小数部分四舍五入取整数。使用叠加原理，先只看 $500\ \mathrm{rad/s}$ 分量：

1. 求该电压分量在电感中产生的电流有效值。
2. 求该电压分量在电容中产生的电流有效值。
3. 由前两问求电源电流的有效值 $I_1$。

再只看 $1500\ \mathrm{rad/s}$ 分量：

4. 求该分量对应的电源电流有效值 $I_3$。

周期为 $T$ 的电流 $i(t)$ 的有效值定义为

$$I_{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac1T\int_0^T i(t)^2\,\mathrm dt}.$$

5. 对

   $$i(t)=\sqrt2I_1\sin(\omega t) +\sqrt2I_3\sin(3\omega t),$$

   计算 $I_{\mathrm{rms}}$，用 $I_1,I_3$ 表示。

6. 求 $500$ 与 $1500\ \mathrm{rad/s}$ 两个分量同时作用时的电源电流有效值。

接着如图 2.2 增加另两相电源

$$\begin{aligned} e_2(t) &=100\sqrt2\sin\left(500t+\frac{2\pi}{3}\right) +\frac{100\sqrt2}{3}\sin(100t),\\ e_3(t) &=100\sqrt2\sin\left(500t+\frac{4\pi}{3}\right) +\frac{100\sqrt2}{3}\sin(100t), \end{aligned}$$

并把三个与图 2.1 相同的负载作 Y 形连接，用三根导线接到电源；接线和导线 U 的位置以图 2.2 为准。

7. 求 $500\ \mathrm{rad/s}$ 分量的线电压有效值。
8. 求导线 U 中电流的有效值。

考点

• 叠加定理与相量阻抗：分别计算不同角频率下并联电感、电容的支路电流及相消后的电源电流。
• 非正弦周期量的有效值：利用不同谐波正交性，把各频率电流有效值按平方和合成。
• 三相 Y 接电路：由相差 $120^\circ$ 的基波求线电压，并分析三线制下同相零序分量和各相负载电流的关系。

Kai

(1)

$$I_1 = \bigg|\frac{100}{j500 \times 10 \times 10^{-3}}\bigg| = 20[\text{A}]$$

(2)

$$\begin{aligned} I_c &= \bigg|j\omega C \cdot 100\bigg| \\ &= 500 \cdot 100 \cdot 300 \times 10^{-6} \\ &= 15[\text{A}] \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} I_1 &= I_L + I_C \\ &= \bigg|-j20 + j15\bigg| \\ &= \bigg|-j5\bigg| \\ &= 5[\text{A}] \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} I_3 &= \bigg|\frac{\frac{100}{3}}{j1500 \times 10 \times 10^{-3}} + j1500 \times 300 \times 10^{-6} \times \frac{100}{3}\bigg| \\ &= \bigg|-j\frac{100}{45} + j15\bigg| \\ &= \bigg|j(-2.2 + 15)\bigg| \\ &\approx 13[\text{A}] \end{aligned}$$

(5)

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

$$\begin{aligned} \frac{\omega}{2\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\bigg[\sqrt{2}\big(I_1\sin(\omega t) + I_3\sin(3\omega t)\big)\bigg]^2dt = \frac{\omega}{\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} I_1^2 \sin^2\omega t dt + \frac{\omega}{\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}I_3^2\sin^23\omega tdt + \frac{2\omega}{\pi}I_1I_2 \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin\omega t \sin(3\omega t)dt \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{\omega}{\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} I_1^2 \sin^2\omega t dt &= \frac{\omega}{2\pi}I_1^2 \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}} (1 - \cos2\omega t) dt \\ &= \frac{\omega}{2\pi}I_1^2\bigg[t - \frac{1}{2\omega}\sin2\omega t\bigg]_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \\ &= \frac{\omega I_1^2}{2\pi} \cdot \frac{2\pi}{\omega} = I_1^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{\omega}{\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}I_3^2\sin^23\omega tdt &= \frac{\omega}{\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}I_3^2\sin^2(3\omega t)dt \\ &= \frac{\omega I_3^2}{2\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\bigg(1 - \cos(6\omega t)\bigg)dt \\ &= \frac{\omega I_3^2}{2\pi}\bigg[t + \frac{1}{6\omega}\sin(6\omega t)\bigg]_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \\ &= \frac{\omega I_3^2}{2\pi} \cdot \frac{2\pi}{\omega} = I_3^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{2\omega}{\pi}I_1I_2 \int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\sin\omega t \sin(3\omega t)dt &= \frac{2\omega I_1I_2}{\pi}\int_0^{\frac{2\pi}{\omega}}\frac{1}{2}(\cos 2\omega t - \cos 4\omega t)dt \\ &= \frac{\omega I_1I_2}{\pi }\bigg[\frac{1}{2\omega} \sin 2\omega t - \frac{1}{4\omega}\sin 4\omega t\bigg]_0^{\frac{2\pi}{\omega}} \\ &= 0 \end{aligned}$$

従って、

$$I_{rms} = \sqrt{I_1^2 + I_3^2}$$

(6)

$$I = \sqrt{25 + 169} \approx 14[\text{A}]$$

(7)

線間電圧は相電圧の $\sqrt{3}$ 倍より、

$$100\sqrt{3} = 173.2 \cdots \approx 173[\text{V}]$$

(8)

$500$ rad/s の成分のみを考慮して、

$$I_0 = 5[\text{A}]$$