東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 電気回路1

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• Laplace-Transform

Author

Zero

Description

図 $1.1$ の回路について以下の問に答えよ。$R$ を抵抗，$L$ をインダクタンス，$C$ をキャパシタンスとする。$V_{in}$ を入力電圧，$V_{out}$ を出力電圧とする。虚数単位は $j$ を用いる。

問 (1) ~ 問 (4)では，角周波数 $\omega$ に対して図 $1.2$ のように定義された伝達関数 $H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)}$ について考える。

(1) 図 $1.1$ の回路の伝達関数 $H(\omega)$ を答えよ。その際，以下の形に変形して四角枠部(ア)～(ウ)を解答欄に記入せよ。

$$H(\omega) = \frac{R}{\boxed{(ア)} + j\boxed{(イ)} + \frac{1}{j\boxed{ウ}}}$$

(2) 伝達関数 $H(\omega)$ の利得 $|H(\omega)|$ が最大となる角周波数 $\omega_0$ を図中の回路素子パラメータ $R,L,C$ のうち必要なものを用いて示せ。

(3) $\omega = \omega_0$ における利得 $|H(\omega_0)|$ を示せ。

(4) 図 $1.1$ の回路はフィルタとして利用することができる。どのようなフィルタか，名称あるいは機能を述べよ。

問 (5) ~ 問 (7)ではラプラス変換を用いて回路の応答を求める。図 $1.3$ のように複素数 $s$ に対して定義された伝達関数 $H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$ について考える。

(5) 図 $1.1$ の回路の伝達関数 $H(s)$ を答えよ。

(6) 問 (5)の伝達関数のポール（極）の値を図中の回路素子パラメータ $R,L,C$ のうち必要なものを用いて示せ。

(7) 問 (6)で求めたポールが $2$ つの負の実数となる場合を考える。それらを $-\alpha_1$ と $-\alpha_2$ とし、$\alpha_1 > \alpha_2$ であるとする。回路の単位ステップ応答 $v_{out}(t)$ を求めよ。答は $R,L,C$ を用いずに $\alpha_1$ および $\alpha_2$ を用いて示せ。

题目描述

对原 Description 图 1.1 所示电路回答下列问题。$R,L,C$ 分别表示电阻、感抗元件的电感量和电容器的电容量，$V_{\mathrm{in}}$、$V_{\mathrm{out}}$ 分别为输入、输出电压，虚数单位记为 $j$。电路连接与输入、输出端定义以图 1.1 为准。

第 1 至第 4 问使用图 1.2 所定义的频率传递函数

$$H(\omega)=\frac{V_{\mathrm{out}}(\omega)} {V_{\mathrm{in}}(\omega)}.$$

1. 求电路的 $H(\omega)$，并整理为

   $$H(\omega) =\frac{R} {\boxed{\text{(ア)}}+j\boxed{\text{(イ)}} +\dfrac1{j\boxed{\text{(ウ)}}}},$$

   填写三个方框。

2. 用 $R,L,C$ 中必要的参数表示使增益 $|H(\omega)|$ 最大的角频率 $\omega_0$。

3. 求 $\omega=\omega_0$ 时的增益 $|H(\omega_0)|$。

4. 说明图 1.1 电路作为滤波器时的名称或功能。

第 5 至第 7 问使用 Laplace 变换以及图 1.3 所定义的

$$H(s)=\frac{V_{\mathrm{out}}(s)} {V_{\mathrm{in}}(s)}.$$

5. 求图 1.1 电路的 $H(s)$。
6. 用 $R,L,C$ 中必要的参数表示 $H(s)$ 的极点。
7. 假设两个极点均为负实数，记为 $-\alpha_1,-\alpha_2$，且 $\alpha_1>\alpha_2$。求电路的单位阶跃响应 $v_{\mathrm{out}}(t)$；答案只用 $\alpha_1,\alpha_2$ 表示，不使用 $R,L,C$。

考点

• RLC 电路的传递函数：在相量域由串并联阻抗求频率响应，并找出谐振频率、峰值增益及滤波类型。
• Laplace 域电路分析：把电感、电容写成 $s$ 域阻抗，求传递函数分母的两个极点。
• 二阶系统暂态响应：在过阻尼的两个不同负实极点条件下作部分分式展开，反变换得到单位阶跃响应。

Kai

(1)

$$V_{out} = \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}V_{in}$$

$$H(\omega) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{R}{R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}}$$

従って、

$$\boxed{(ア)} = R,\boxed{(イ)} = \omega L, \boxed{ウ} = \omega C$$

(2)

$$|H(\omega) = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}}|$$

$R > 0,(\omega L - \frac{1}{\omega C}) \ge 0$ より、$|H(\omega)|$ は、$\omega_0L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0$ で最大値をより、

$$\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}$$

従って、

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

(3)

$$|H(\omega_0)| = \frac{R}{\sqrt{R^2}} = 1$$

(4)

バンドパスフィルタ

共振周波数でのみ、そのまま、電圧を伝える。

(5)

$j\omega \rightarrow s$ として、

$$H(s) = \frac{R}{R + sL + \frac{1}{sC}}$$

(6)

$$\begin{aligned} H(s) &= \frac{sCR}{sCR + s^2LC + 1} \\ &= \frac{s \cdot \frac{R}{L}}{s^2 + s\frac{R}{L} + \frac{1}{LC}} \end{aligned}$$

分母多項式が $0$ となるのは、

$$s^2LC + sCR + 1 = 0$$

$$s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0$$

$$s = \frac{-\frac{R}{L} + \sqrt{(\frac{R}{L})^2 - \frac{4}{LC}}}{2}$$

(7)

$$\left \{ \begin{aligned} \alpha_1 &= \frac{\frac{R}{L} - \sqrt{(\frac{R}{L})^2 - \frac{4}{LC}}}{2} \\ \alpha_2 &= \frac{\frac{R}{L} + \sqrt{(\frac{R}{L})^2 - \frac{4}{LC}}}{2} \\ \end{aligned} \right.$$

よって、$\alpha_1 + \alpha_2 = \frac{R}{L}$

$$H(s) = \frac{(\alpha_1 + \alpha_2)s}{(s + \alpha_1)(s + \alpha_2)}$$

$$\begin{aligned} V_{out}(s) &= H(s) \cdot \frac{1}{s} \\ &= \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{(s + \alpha_1)(s + \alpha_2)} \\ &= -\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\alpha_1 - \alpha_2} \cdot \frac{1}{s + \alpha_1} + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\alpha_1 - \alpha_2} \cdot \frac{1}{s + \alpha_2} \\ &= -\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\alpha_1 - \alpha_2}(\frac{1}{s + \alpha_1} - \frac{1}{s + \alpha_2}) \end{aligned}$$

従って、

$$v_{out}(t) = -\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\alpha_1 - \alpha_2}(e^{-\alpha_1 t} - e^{-\alpha_2t})$$