東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 電磁気学2

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Zero

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直流電流の作る磁界に関する，以下の設問 (1) および (2)に答えよ。

(1) 平面上で，原点 O を中心とする半径 の円周を直流電流 が流れている。 この時， 軸上の点 における磁束密度 を求めたい。その導出に関する以下の文章の空欄① ⑥を，適切な式または言葉で埋めよ（同一の番号には同一の式または言葉が入る）。なお，真空の透磁率を とする。本問では，ベクトルはボールド体で表記するものとする。

「図 2.1 のように円電流の微小線素ベクトル が， の位置に作る磁束密度を とし，これを とそれに垂直な成分 に分け， とする。 については円電流全体からの寄与を合計すると消しあうので，積分すると となる。次に を求める。微小線素 から点 に向かうベクトルを とし，その大きさ を と定義すると， の法則により，外積を で表すものとして である。 と は直交しているので， の大きさ を および を用いて表すと となる。一方， と 軸のなす角 につき， および を用いると， となる。そこで および を用いて を得る。⑤ を円電流全体について積分することにより， を用いて の 成分 を と表すことができる。よって，直交座標成分で書くと と， が求められた。」

(2) 図 のように，断面が長方形のコアに細い導線が巻かれた環状コイルがあり（図の破線部分にもコイルは存在する），その内半径は , 外半径は , 厚さは であるとする。コアの表面に沿って，導線は十分に密に巻かれており，巻き数は全体で である。このとき，以下の設問に答えよ。ただし，コアの透磁率を とする。

• (a) コアの内側 では，図 のような円柱座標系 を用いると，コイルに流れる直流電流 による磁界が

となることを示せ。

• (b) コアの外側では，コイルに流れる直流電流 による磁界がゼロとなることを説明せよ。

• (c) コアの断面 を貫く磁束 は，次式で表されることを示せ。ただし， は の自然対数を表す。

• (d) 環状コイル全体に蓄えられた磁界のエネルギー を求めよ。

• (e) この環状コイルの自己インダクタンス を求めよ。

Kai

(1)

① 0

② ビオ・サバールの法則より、

③

④

⑤

⑥

(2)

(a)

アンペールの法則より、積分路を円周上にすると、

(b)

積分路 でアンペールの法則を用いると、

積分路 でも同様にして

は無限遠で より、

よって、 より、 となり。

コアの外側では，磁界がゼロとなる。

(c)

(d)

(e)

従って、