東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 電磁気学1

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• TITech
• Gauss-Law
• Electric-Potential-and-Field
• Superposition-Principle

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Zero

Description

設問 (1)～(2) を通して全ての領域で誘電率を $\varepsilon_0$ とする。

(1) 図 $1.1$ のように，単位体積当たりの電荷密度 $\rho(> 0)$ が一定で，半径が $a$ の球状に分布した電荷がある。以下の問に答えよ。

• (a) 球の中心 O から距離 $r (>0)$ の点における電界の大きさ $E$ を求め，$r$ に対する変化の概略をグラフに示せ。

• (b) 球の中心 O から距離 $r$ の点における電位 $V$ を求め，$r$ に対する変化の概略をグラフに示せ。ただし，無限遠を電位の基準 $(V = 0)$ とする。

• (c) 図 $1.1$ のように球の中心 O を原点として直交座標の $x,y,z$ 軸を定めたとき，$r < a$ の位置における $x,y,z$ 各方向の電界成分 $E_x,E_y,E_z$ を求めよ。

  原点から点 $(x,y,z)$ 方向の単位ベクトルが $(\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r})$ であることを利用せよ。ただし，$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ である。

(2)

• (a) 図 $1.2$ のように，図 $1.1$ の球状に分布した電荷に，位置 $(d,0,0)$ を中心とする半径 $b$ の球状に分布した電荷を追加した。ただし，$d > 0$ および $b + d < a$ であり，電荷を追加した領域の単位体積当たりの電荷密度は一定値 $\rho + \rho_1$ になった。

  新しく電荷を追加した領域内部での $x,y,z$ 各方向の電界成分 $E_x,E_y,E_z$ を求めよ。

• (b) 図 $1.3$ のように，図 $1.1$ の球状に分布した電荷のうち，位置 $(d,0,0)$ を中心とする半径 $b$ の球内の電荷を取り去ると，この領域内部では電界の方向と大きさが一定となる。その方向と大きさを求めよ。ただし，(a) と同じく $d > 0$ および $b + d < a$ とする。

题目描述

第 1、2 问所有区域的介电常数均为 $\varepsilon_0$。

1. 如原 Description 图 1.1，半径为 $a$ 的球内均匀分布体电荷密度 $\rho>0$。

   1. 求距球心 O 为 $r>0$ 的点处电场大小 $E$，并画出 $E$ 随 $r$ 变化的概略图。

   2. 以无穷远为零电位基准，求距 O 为 $r$ 的点处电位 $V$，并画出 $V$ 随 $r$ 变化的概略图。

   3. 以 O 为原点建立图 1.1 所示直角坐标系。对球内 $r<a$ 的点，求电场的三个分量 $E_x,E_y,E_z$。可使用

      $$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\qquad \hat{\boldsymbol r} =\left(\frac xr,\frac yr,\frac zr\right).$$

2. 在上述带电球内考虑一个以 $(d,0,0)$ 为球心、半径为 $b$ 的小球区域，满足

   $$d>0,\qquad b+d<a.$$
   1. 如图 1.2，在该小球区域额外加入均匀电荷，使区域内总电荷密度变为常数 $\rho+\rho_1$。求新增区域内部的 $E_x,E_y,E_z$。
   2. 如图 1.3，改为挖去原大球在该小球区域内的全部电荷。此空腔内部电场的方向和大小均为常量，求其方向与大小。

考点

• Gauss 定律：利用球对称性分区求均匀带电实心球内外的电场，并处理 $r=a$ 处连续性。
• 电势与电场：以无穷远为基准分段积分电场，得到球内外电势并画出定性曲线。
• 电场叠加：把偏心增荷球或空腔表示为两个均匀带电球的叠加，在平移坐标下求各分量及空腔内匀强场。

Kai

(1)

(a)

$r < a$ , ガウスの法則より、

$$\begin{aligned} 4\pi r^2 \cdot E &= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \\ E &= \frac{\rho}{3\varepsilon_0}r \end{aligned}$$

$r > a$ , ガウスの法則より、

$$\begin{aligned} 4\pi r^2 \cdot E &= \rho \cdot \frac{4\pi}{3\varepsilon_0}a^3 \\ E &= \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2} \end{aligned}$$

(b)

$r > a$ の場合、

$$\begin{aligned} V &= -\int_{\infty}^r \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0 r^2}dr \\ &= -\frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0}\int_{\infty}^r \frac{1}{r^2}dr \\ &= \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0}\bigg[\frac{1}{r}\bigg]_{\infty}^r \\ &= \frac{\rho a^3}{3\varepsilon_0r} \end{aligned}$$

$r < a$ の場合、

$$\begin{aligned} V &= \frac{\rho^2a^3}{3\varepsilon_0a} - \int_a^r \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}dr \\ &= \frac{\rho^2a^2}{3\varepsilon_0} - \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\int_a^r rdr \\ &= \frac{\rho a^2}{3\varepsilon_0} - \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\bigg[\frac{1}{2}r^2\bigg]_a^r \\ &= \frac{\rho}{6\varepsilon_0} \cdot 2a^2 - \frac{\rho}{6\varepsilon_0}(r^2 - a^2) \\ &= \frac{\rho}{6\varepsilon_0}(3a^2 - r^2) \end{aligned}$$

(c)

$$\begin{aligned} E_x &= \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{x}{r} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}x \\ E_y &= \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{y}{r} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}y \\ E_z &= \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} \cdot \frac{z}{r} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}z \\ \end{aligned}$$

(2)

(a)

$$E' = \frac{\rho_1}{3\varepsilon_0}\begin{pmatrix}x-d\\y\\z\end{pmatrix}, E = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

$$\begin{aligned} E_x &= \frac{\rho_1 + \rho}{3\varepsilon_0}x - \frac{\rho_1}{3\varepsilon_0}d \\ E_y &= \frac{\rho_1 + \rho}{3\varepsilon_0}y \\ E_z &= \frac{\rho_1 + \rho}{3\varepsilon_0}z \end{aligned}$$

(b)

$$E'' = - \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\begin{pmatrix}x-d \\ y \\ z\end{pmatrix}$$

$$\begin{aligned} E &= E'' + E \\ &= -\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\begin{pmatrix}x-d\\y\\z\end{pmatrix} + \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \\ &= \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\begin{pmatrix}d\\0\\0\end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$E_x = \frac{\rho d}{3\varepsilon_0} ,E_y = E_z = 0$$