東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 電気回路2

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Author

Zero

Description

理想オペアンプを用いた回路について以下の問に答えよ。ただし，理想オペアンプの電圧利得は無限大，入力インピーダンスは無限大，出力インピーダンスはゼロである。また，$v_A,v_B,v_C,v_D$ は交流電圧，$i_A,i_B,i_C$ は交流電流，$\omega$ は角周波数，$j$ は虚数単位とする。なお，問 (3)，(4)，(6) については答だけでなく導出過程も示せ。

(1) 図 $2.1$ の増幅回路において，入力 $v_A,v_B,v_C$ と出力 $v_D$ の間の関係式を求めよ。

(2) 図 $2.1$ の増幅回路の入力インピーダンス $v_A/i_A,v_B/i_B,v_C/i_C$ を求めよ。

(3) 図 $2.2$ のフィルタ回路の周波数伝達関数 $H(j\omega) = v_B/v_A$ を求めよ。

(4) 図 $2.2$ のフィルタ回路の出力（右側端子）を図 $2.3$ のフィルタ回路の入力（左側端子）に接続したとき，角周波数によらず常に $v_C = v_A$ となるための条件式を，$C,C',R,R'$ を用いて書き表せ。

(5) 図 $2.4$ の回路は入力電圧の時間微分に比例した電圧を出力する。比例定数 $k$ を求めよ。

(6) 図 $2.5$ の回路の入力インピーダンス $Z_{in} = v_A/i_A$ をインピーダンス $Z_1,Z_2,Z_3$ で表せ。

(7) 図 $2.5$ のインピーダンス $Z_2$ の素子をキャパシタンス $C$ のキャパシタとし，インピー ダンス $Z_1,Z_3$ の素子をそれぞれ抵抗 $R_1,R_3$ とすることで，入力インピーダンス $Z_{in} = j\omega L_e$ が得られる。$L_e$ を求めよ。

题目描述

对原 Description 图 2.1 至图 2.5 所示的理想运算放大器电路回答下列问题。理想运放的电压增益为无穷大、输入阻抗为无穷大、输出阻抗为零。$v_A,v_B,v_C,v_D$ 为交流电压，$i_A,i_B,i_C$ 为交流电流，$\omega$ 为角频率，$j$ 为虚数单位。第 3、4、6 问除答案外还须写出推导过程。

1. 对图 2.1 的放大电路，求输入 $v_A,v_B,v_C$ 与输出 $v_D$ 的关系式。

2. 求图 2.1 电路的三个输入阻抗

   $$\frac{v_A}{i_A},\qquad \frac{v_B}{i_B},\qquad \frac{v_C}{i_C}.$$

3. 求图 2.2 滤波电路的频率传递函数

   $$H(j\omega)=\frac{v_B}{v_A}.$$

4. 把图 2.2 的输出端（右端）接到图 2.3 的输入端（左端）。用 $C,C',R,R'$ 写出使任意角频率下恒有 $v_C=v_A$ 的条件。

5. 图 2.4 电路的输出电压与输入电压的时间导数成正比，求比例常数 $k$。

6. 用阻抗 $Z_1,Z_2,Z_3$ 表示图 2.5 电路的输入阻抗

   $$Z_{\mathrm{in}}=\frac{v_A}{i_A}.$$

7. 在图 2.5 中，令 $Z_2$ 为电容 $C$ 的阻抗，$Z_1,Z_3$ 分别为电阻 $R_1,R_3$，可得到

   $$Z_{\mathrm{in}}=j\omega L_e.$$

   求等效电感 $L_e$。

所有元件连接、极性和电流参考方向均以原 Description 的电路图为准。

Kai

(1)

$v_A = R_1i_A$, $v_B = R_1i_B$, $v_C = R_1i_C$ より

$$i = i_A + i_B + i_C = \frac{v_A}{R_1} + \frac{v_B}{R_1} + \frac{v_C}{R_1} = \frac{1}{R_1}(v_A + v_B + v_C)$$

よって

$$v_D = -iR_2 = -\frac{R_2}{R_1}(v_A + v_B + v_C)$$

(2)

$$\frac{v_A}{i_A} = \frac{v_B}{i_B} = \frac{v_C}{i_C} = R_1$$

(3)

$v_A = \frac{i}{j\omega C}$ より

$$v_B = i(R + \frac{1}{j\omega C}) = j\omega C(R + \frac{1}{j\omega C})v_A$$

$$\frac{v_B}{v_A} = 1 + j\omega C R$$

従って、

$$H(j\omega) = 1 + j\omega C R$$

(4)

$$v_C = \frac{\frac{1}{j\omega C'}}{R' + \frac{1}{j\omega C'}}v_B = \frac{1}{1 + j\omega C'R'}v_B$$

よって、

$$v_C = \frac{1}{1 + j\omega C'R'} \cdot (1 + j\omega C R)v_A$$

$$\frac{v_C}{v_A} = \frac{1 + j\omega C R}{1 + j\omega C' R'} = 1$$

従って、条件式は

$$CR = C'R'$$

(5)

$$v_A = \frac{1}{C} \int idt \Rightarrow C\frac{dv_A}{dt} = i$$

$$v_B = -Ri = -RC\frac{dv_A}{dt}$$

従って、

$$K = -RC$$

(6)

$v_A = Z_3i_B$ より

$$v_B = (Z_3 + Z_2)i_B = (1 + \frac{Z_2}{Z_3})v_A$$

$$v_A - v_B = i_AZ_1$$

$$v_A - (1 + \frac{Z_2}{Z_3})v_A = i_AZ_1$$

$$-\frac{Z_2}{Z_3}v_A = i_AZ_1$$

したがって、

$$Z_{in} = \frac{v_A}{i_A} = -\frac{Z_1Z_3}{Z_2}$$

(7)

$$Z_{in} = -\frac{R_1R_3}{\frac{1}{j\omega C}} = -j\omega CR_1R_3$$

$$L_e= -CR_1R_3$$