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東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 電気回路1

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Author​

Zero

Description​

図 1.11.1 の回路について以下の問に答えよ。回路の抵抗を RR,キャパシタンスを CC とする。ただし，t=0t = 0 におけるキャパシタの電荷を 00 とする。また図 1.21.2，図 1.31.3 の時間軸において，黒丸は範囲の端を含み，白丸は範囲の端を含まないものとする。

(1) 回路の両端 abab に印加する電圧を v(t)v(t),キャパシタの電圧を vc(t)v_c(t) とする。回路方程式を R,C,v(t),vc(t)R,C,v(t),v_c(t) を用いて表せ。

(2) v(t)v(t) として図 1.21.2 に示す電圧を回路の両端 abab に印加した。回路方程式を解いて, t≥0t \ge 0 における vc(t)v_c(t) を求めよ。ただし，VV は正とする。

(3) 十分に時間が経ったときのキャパシタの静電エネルギーを求めよ。

(4) v(t)v(t) として図 1.31.3 に示す 2V2V から VV に変化する電圧を回路の両端 abab に印加した。vc(t)v_c(t) を求めよ。ただし，t=0t = 0 におけるキャパシタの電荷を 00 とし，VV および aa は正とする。

(5) 問 (4)において t≥at \ge a のときキャパシタが放電した。a,R,Ca,R,C に成り立つ関係式を求めよ。

(6) 問 (4)において R,CR,C を調整したところ，t≥at \ge a において回路に流れる電流が 00 となった。t=0t = 0 から aa までに，抵抗 RR で消費された電力量を C,VC,V を用いて求めよ。

(7) 問 (6)において t=0t = 0 から aa までに端子 abab から供給された電力量を C,VC,V を用いて求めよ。

题目描述​

对原 Description 图 1.1 所示的串联电阻－电容电路回答下列问题。电阻为 RR，电容为 CC，且 t=0t=0 时电容器电荷为 00。图 1.2、图 1.3 的时间轴上，实心圆点表示包含端点，空心圆点表示不包含端点。

  1. 端子 abab 间施加电压 v(t)v(t)，电容电压为 vc(t)v_c(t)。用 R,C,v(t),vc(t)R,C,v(t),v_c(t) 写出电路方程。
  2. 将图 1.2 所示电压 v(t)v(t) 加在端子 abab 上，其中 V>0V>0。解电路方程，求 t≥0t\geq0 时的 vc(t)v_c(t)。
  3. 求经过充分长时间后电容器的静电能。
  4. 把图 1.3 所示、从 2V2V 变为 VV 的电压 v(t)v(t) 加在端子 abab 上。仍规定 t=0t=0 时电容器电荷为 00，且 V>0,a>0V>0,a>0。求 vc(t)v_c(t)。
  5. 在第 4 问中，若 t≥at\geq a 后电容器发生放电，求 a,R,Ca,R,C 必须满足的关系。
  6. 在第 4 问中调节 R,CR,C，使 t≥at\geq a 时电路电流为 00。用 C,VC,V 表示从 t=0t=0 到 t=at=a 期间电阻 RR 消耗的电能。
  7. 在第 6 问条件下，用 C,VC,V 表示从 t=0t=0 到 t=at=a 期间端子 abab 提供的电能。

电路连接以及图 1.2、图 1.3 的精确分段波形以原 Description 末尾的合并图为准。

考点​

  • RC 电路暂态响应：由 KVL 建立一阶微分方程，结合零初始电荷对分段输入逐段求解并衔接电容电压。
  • 充放电条件：比较切换时刻的电容电压与新稳态电压，判断切换后电流方向及零电流所需时间常数关系。
  • 电容储能与能量守恒：计算最终静电能，并在指定时段内分解电源供能、电阻耗能与电容储能。

Kai​

(1)​

RCdvc(t)dt+vc(t)=v(t)RC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = v(t)

(2)​

RCdvc(t)dt+vc(t)=VRC \frac{dv_c(t)}{dt} + v_c(t) = V
dvc(t)dt+1RCvc(t)=VRC\frac{dv_c(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t) = \frac{V}{RC}

積分因子 e∫1RCdt=etRCe^{\int\frac{1}{RC}dt} = e^{\frac{t}{RC}}

(vc(t)etRC)′=VRCetRC\big(v_c(t)e^{\frac{t}{RC}}\big)' = \frac{V}{RC} e^{\frac{t}{RC}}
vc(t)etRC=VetRC+A(A=constant)v_c(t)e^{\frac{t}{RC}} = Ve^{\frac{t}{RC}} + A \quad (A = \text{constant})
vc(t)=V+Ae−tRCv_c(t) = V + Ae^{-\frac{t}{RC}}
vc(t)=q(0)C=0=V+A⇔A=−Vv_c(t) = \frac{q(0)}{C} = 0 = V + A \Leftrightarrow A = -V

従って、

vc(t)=V(1−e−tRC)v_c(t) = V(1 - e^{-\frac{t}{RC}})

(3)​

vc(∞)=Vv_c(\infty) = V
ω‾=12CV2\overline{\omega} = \frac{1}{2}CV^2

(4)​

dvc(t)dt+1RCvc(t)=1RC(2VU(t)−VU(t−a))SVc(S)+1RCVc(S)=VRC(2S−1Se−aS)Vc(S)RCS+1RC=VRCS(2−e−aS)Vc(S)=RCRCS+1⋅VRCS(2−e−aS)Vc(S)=VS(SCR+1)(2−e−aS)=VRC⋅1S(SCR+1)(2−e−aS)=V(1S−1S+1RC)(2−e−aS)=2V(1S−1S+1SC)−V(1S−1S+1RC)e−aS\begin{aligned} \frac{dv_c(t)}{dt} + \frac{1}{RC}v_c(t) &= \frac{1}{RC}(2VU(t) - VU(t - a)) \\ SV_c(S) + \frac{1}{RC}V_c(S) &= \frac{V}{RC}(\frac{2}{S} - \frac{1}{S}e^{-aS}) \\ V_c(S) \frac{RCS + 1}{RC} &= \frac{V}{RCS}(2 - e^{-aS}) \\ V_c(S) &= \frac{RC}{RCS + 1} \cdot \frac{V}{RCS}(2 - e^{-aS}) \\ V_c(S) &= \frac{V}{S(SCR + 1)}(2 - e^{-aS}) \\ &= \frac{V}{RC} \cdot \frac{1}{S(SCR + 1)}(2 - e^{-aS}) \\ &= V(\frac{1}{S} - \frac{1}{S + \frac{1}{RC}})(2 - e^{-aS}) \\ &= 2V(\frac{1}{S} - \frac{1}{S + \frac{1}{SC}}) - V(\frac{1}{S} - \frac{1}{S + \frac{1}{RC}})e^{-aS} \end{aligned}

従って、

vc(t)=2V(1−e−tRC)U(t)−V(1−e−1RC(t−a))U(t−a)v_c(t) = 2V(1 - e^{-\frac{t}{RC}})U(t) - V(1 - e^{-\frac{1}{RC}(t - a)})U(t - a)

(5)​

vc(a)=v(a)v_c(a) = v(a)
V=2V(1−e−aRC)V = 2V(1 - e^{-\frac{a}{RC}})
1<2−2e−aRC1 < 2 - 2e^{-\frac{a}{RC}}
e−aRC<12e^{-\frac{a}{RC}} < \frac{1}{2}
−aRC<log⁡12-\frac{a}{RC} < \log\frac{1}{2}
aRC<log⁡2\frac{a}{RC} < \log2
a<RClog⁡2a < RC\log2

(6)​

v(a)=vc(a)v(a) = v_c(a)
V=2V(1−e−aRC)V = 2V(1 - e^{-\frac{a}{RC}})
e−aRC=12e^{-\frac{a}{RC}} = \frac{1}{2}
2=eaRC2 = e^{\frac{a}{RC}}

また、0≤t<a0 \le t < a より、

vc(t)=2V(1−e−tRC)v_c(t) = 2V(1 - e^{-\frac{t}{RC}})
i(t)=Cddtvc(t)i(t) = C\frac{d}{dt} v_c(t)

v(t)=2Vv(t) = 2V より、

i(t)=Cddt(2V(1−e−tRC))=2CV⋅1RCe−tRC=2VRe−tRC\begin{aligned} i(t) &= C\frac{d}{dt}(2V(1 - e^{-\frac{t}{RC}})) \\ &= 2CV \cdot \frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}} \\ &= 2\frac{V}{R}e^{-\frac{t}{RC}} \end{aligned}

よって、

P1=∫0aRi2(t)dt=∫0aR⋅4V2R2e−2RCtdt=4V2R∫0ae−2RCtdt=4V2R[−RC2e−2RCt]0a=4V2R⋅RC2[−e−2RCt]0a=2CV2(1−e−2RCa)=2CV2(1−(1eaRC)2)=2CV2(1−14)=32CV2\begin{aligned} P_1 &= \int_0^a Ri^2(t)dt \\ &= \int_0^a R \cdot \frac{4V^2}{R^2} e^{-\frac{2}{RC}t}dt \\ &= \frac{4V^2}{R}\int_0^a e^{-\frac{2}{RC}t}dt \\ &= \frac{4V^2}{R} \bigg[-\frac{RC}{2}e^{-\frac{2}{RC}t}\bigg]_0^a \\ &= \frac{4V^2}{R} \cdot \frac{RC}{2} \bigg[-e^{-\frac{2}{RC}t}\bigg]_0^a \\ &= 2CV^2 (1 - e^{-\frac{2}{RC}a}) \\ &= 2CV^2 (1 - \big(\frac{1}{e^{\frac{a}{RC}}})^2\big) \\ &= 2CV^2 ( 1 - \frac{1}{4}) \\ &= \frac{3}{2}CV^2 \end{aligned}

(7)​

P=∫0ai(t)v(t)dt=∫0a2V⋅2⋅VRe−tRCdt=4V2R∫0ae−tRCdt=4⋅V2R[−RCe−tRC]0a=4CV2[−e−aRC+1]=4CV2(1−12)=2CV2\begin{aligned} P &= \int_0^a i(t)v(t)dt \\ &= \int_0^a 2V \cdot 2 \cdot \frac{V}{R} e^{-\frac{t}{RC}}dt \\ &= 4 \frac{V^2}{R} \int_0^a e^{-\frac{t}{RC}}dt \\ &= 4 \cdot \frac{V^2}{R} \bigg[-RCe^{-\frac{t}{RC}}\bigg]_0^a \\ &= 4CV^2 [ - e^{-\frac{a}{RC}} + 1] \\ &= 4CV^2 ( 1 - \frac{1}{2}) \\ &= 2CV^2 \end{aligned}
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