東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学3

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祭音Myyura

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周期 点の実数の離散時間信号 を考える。式 定義される離散フーリエ変換 に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。ただし、,および は整数であり、 は自然数である。また、虚数単位を で表す 。

(1) の離散フーリエ変換を考える。

• (a) とし、 の離散フーリエ変換 を用いずに表せ。ただし、 は整数である。

• (b) の周期性を考慮して、(1) の (a) で導出した式が となることを示せ。

(2) ある整数 に対して の離散フーリエ変換が となることを示せ。

(3) Hz 未満に帯域制限された連続時間信号 に対して、時刻 からサンプリング周波数 Hz で 秒間サンプリングしたところ、 の離散時間信号を得た。

• (a) 得られた離散時間信号を (ただし、) とし、 に対する をそれぞれ求めよ。

• (b) (3) の (a) で導出した から、 を求めよ。

Kai

(1)

(a)

(b)

(2)

第一項において、 とすると、 より、

よって、

(3)

(a)

(b)

は、 の成分を表す。, より、 の成分となる。

• (i) のとき (、DC成分)、 より、DC成分を有する。
• (ii) のとき ()、 より、 成分を有する。
• (iii) のとき ()、 より、成分なし。

よって、 は、DC および、 の 成分からなる。

の成分について、、 より、 と が対応し、

従って、