東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学3

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Author

祭音Myyura

Description

周期 $N$ 点の実数の離散時間信号 $f(n)$ を考える。式 $(3.1)$ 定義される離散フーリエ変換 $F(k)$ に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。ただし、$n$,および $k$ は整数であり、$N$ は自然数である。また、虚数単位を $j$ で表す $(j^2 = -1)$。

$$\begin{align} F(k) = \sum_{n = 0}^{N - 1}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \tag{3.1} \end{align}$$

(1) $f(n)$ の離散フーリエ変換を考える。

• (a) $n = N - m$ とし、$f(-n)$ の離散フーリエ変換 $n$ を用いずに表せ。ただし、$m$ は整数である。

• (b) $f(n)$ の周期性を考慮して、(1) の (a) で導出した式が $F(-k)$ となることを示せ。

(2) ある整数 $m$ に対して $f(n - m)$ の離散フーリエ変換が $F(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}km}$ となることを示せ。

(3) $1$ Hz 未満に帯域制限された連続時間信号 $g(t)$ に対して、時刻 $t = 0$ からサンプリング周波数 $2$Hz で $2$ 秒間サンプリングしたところ、$[3,0,1,2]$ の離散時間信号を得た。

• (a) 得られた離散時間信号を $f(n)$ (ただし、$n = 0,1,2,3$) とし、$k = 0,1,2,3$ に対する $F(k)$ をそれぞれ求めよ。

• (b) (3) の (a) で導出した $F(k)$ から、$g(t)$ を求めよ。

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{N - 1} f(-n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} &= \sum_{n = 0}^{N - 1}f(N - n)e^{-j\frac{2\pi}{N}k(N - n)} \quad \big(\text{Substitute } N - n \text{ with } m) \\ &= \sum_{m = N}^1 f(m)e^{j\frac{2\pi}{N}km} \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \sum_{m = N}^1 f(m)e^{j\frac{2\pi}{N}km} =& \sum_{m = 1}^N f(m)e^{j\frac{2\pi}{N}km} \\ =& \sum_{m = 0}^{N - 1} f(m) e^{j\frac{2\pi}{N}km} \\ =& \sum_{n = 0}^{N - 1} f(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}(-k)n} \quad (\because m \rightarrow n) \\ =& F[-k] \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} &\sum_{n = 0}^{N - 1}f(n - m)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\ =& \sum_{n = 0}^{N - 1}f(n - m)e^{-j\frac{2\pi}{N}k(n - m)} \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \quad \big(\text{Substitute } n - m \text{ with } n'\big) \\ =& \sum_{n' = -m}^{N - 1 - m}f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'} \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \\ =& \bigg\{\sum_{n' = -m}^{-1}f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'} + \sum_{n' = 0}^{N - 1 - m}f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'}\bigg\}e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \end{aligned}$$

第一項において、$l = N + n'$ とすると、$n':-m \rightarrow - 1,l: N - m \rightarrow N - 1$ より、

$$\begin{aligned} \sum_{n' = -m}^{-1} f(n')e^{-j\frac{2\pi}{N}kn'} &= \sum_{l = N - m}^{N - 1}f(l - N)e^{-j\frac{2\pi}{N}k(l - n)} \\ &= \sum_{n = N - m}^{N - 1}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} &\sum_{n = 0}^{N - 1}f(n - m)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\ =& \bigg\{\sum_{n = N - m} f(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} + \sum_{n = 0}^{N - 1 - m}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\bigg\} e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \\ =& \sum_{n = 0}^{N - 1} f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \cdot e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \\ =& F(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}km} \end{aligned}$$

(3)

(a)

$$\begin{aligned} F[k] &= \sum_{n = 0}^3 f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \\ F[0] &= 3 + 0 - 1 + 2 = 4 \\ F[1] &= 3 + 1 + 2j = 4 + 2j \\ F[2] &= 3 - 1 - 2 = 0 \\ F[3] &= 3 + 1 - 2j = 4 - 2j \\ \end{aligned}$$

(b)

$F[k]$ は、$\text{fs} \times \frac{k}{N} \ [\text{Hz}]$ の成分を表す。$\text{fs} = 2 \ [\text{Hz}]$, $N = 4$ より、$\frac{1}{2}k \ [\text{Hz}]$ の成分となる。

• (i) $k = 0$ のとき ($0 \ [\text{Hz}]$、DC成分)、$F(0) = 4 \neq 0$ より、DC成分を有する。
• (ii) $k = 1$ のとき ($\frac{1}{2} \ [\text{Hz}]$)、$F(1) = 4 + 2j \neq 0$ より、$\sin,\cos$ 成分を有する。
• (iii) $k = 1$ のとき ($1 \ [\text{Hz}]$)、$F(2) = 0$ より、成分なし。

よって、$g(t)$ は、DC および、$\frac{1}{2} \ [\text{Hz}]$ の $\sin,\cos$ 成分からなる。

$\frac{1}{2} \ [\text{Hz}]$ の成分について、$wt = 2\pi ft = \pi t$、$g(t) = A + B\cos\pi t + C\cos \pi t$ より、$t = [0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}]$ と $f(n) = [3,0,-1,2]$ が対応し、

$$\left \{ \begin{aligned} &g(0) = A + B = 3 \\ &g(\frac{1}{2}) = A + C = 0 \\ &g(1) = A - B = -1 \\ \end{aligned} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} &A = 1 \\ &B = 2 \\ &C = -1 \\ \end{aligned} \right.$$

従って、

$$g(t) = 1 + 2\cos\pi t - \sin\pi t$$