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東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学2

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Author​

祭音Myyura

Description​

複素関数に関する以下の問に答えよ。なお虚数単位を jj で表す (j2=−1)(j^2 = -1)。

(1) 複素関数 f(z)=1z−pf(z) = \frac{1}{z - p} を、この関数の特異点 pp (pp は複素数)を内側にもつ積分路 CC に沿って周回積分することを考える。z−p=rejϕz - p = re^{j\phi} と置くことで ∮Cdzz−p=2πj\oint_C\frac{dz}{z - p} = 2\pi j となることを示せ。ただし、rr と ϕ\phi は共に実数であり、r>0r > 0 とする。

(2) 下記に示す式 (2.1)(2.1) の定積分を考える。aa は定数である。

∫02πdθ1−2acos⁡θ+a2∣a∣<1\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1 - 2a \cos\theta + a^2} \quad |a| < 1 \tag{2.1} \end{align}

(a) 関数 g(θ)=11−2acos⁡θ+a2g(\theta) = \frac{1}{1 - 2a\cos\theta + a^2} は，g(θ)=1(1−ah(θ))(1−a/h(θ))g(\theta) = \frac{1}{(1 - ah(\theta))(1 - a/h(\theta))}の形で表される。関数 h(θ)h(\theta) を求めよ。導出過程を示すこと。

(b) z=ejθz = e^{j\theta} と置くことで、式 (2.1)(2.1) を zz の積分式として表せ。

(cc) 式 (2.1)(2.1) の定積分を求めよ。

题目描述​

回答下列复函数问题，以 jj 表示虚数单位，j2=−1j^2=-1。

  1. 对

    f(z)=1z−p,f(z)=\frac1{z-p},

    其中 pp 为复数，沿内部包含奇点 pp 的闭合积分路 CC 作围道积分。通过令

    z−p=rejϕ,z-p=re^{j\phi},

    其中 r,ϕr,\phi 为实数且 r>0r>0，证明

    ∮Cdzz−p=2πj.\oint_C\frac{\mathrm dz}{z-p}=2\pi j.

  2. 对常数 aa 且 ∣a∣<1|a|<1，考虑定积分

    ∫02πdθ1−2acos⁡θ+a2.(2.1)\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm d\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}. \tag{2.1}

    1. 函数

      g(θ)=11−2acos⁡θ+a2g(\theta)=\frac1{1-2a\cos\theta+a^2}

      可写为

      g(θ)=1(1−ah(θ))(1−a/h(θ)).g(\theta) =\frac1{(1-ah(\theta))(1-a/h(\theta))}.

      求 h(θ)h(\theta)，并写出推导。

    2. 作代换 z=ejθz=e^{j\theta}，把 (2.1) 写成关于 zz 的围道积分。

    3. 计算定积分 (2.1)。

考点​

  • 基本围道积分：用圆周参数化直接计算简单极点核 1/(z−p)1/(z-p) 沿正向闭路的积分。
  • 三角有理积分的复变量代换：把 cos⁡θ\cos\theta 分解为 z,z−1z,z^{-1}，并把实积分转化为单位圆上的有理函数积分。
  • 留数定理：依据 ∣a∣<1|a|<1 判断各极点位于单位圆内外，求留数并还原定积分。

Kai​

(1)​

z=p+rejϕz = p + re^{j\phi}
dzdϕ=jrejϕ⇔dz=jrejϕdϕ\frac{dz}{d\phi} = jre^{j\phi} \Leftrightarrow dz = jre^{j\phi}d\phi
∮Cdzz−p=∫02π1rejϕjrejϕdϕ=j∫02πdϕ=2πj\begin{aligned} \oint_C\frac{dz}{z - p} &= \int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{j\phi}}jre^{j\phi}d\phi \\ &= j\int_0^{2\pi}d\phi \\ &= 2\pi j \end{aligned}

(2)​

(a)​

1−2acos⁡θ+a2=(1−ah(θ))(1−ah(θ))=1−a(h(θ)+1h(θ))+a2\begin{aligned} 1 - 2a\cos\theta + a^2 &= (1 - ah(\theta))(1 - \frac{a}{h(\theta)}) \\ &= 1 - a(h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)}) + a^2 \end{aligned}
−2acos⁡θ=−a(h(θ)+1h(θ))2cos⁡θ=h(θ)+1h(θ)2h(θ)cos⁡θ=h2(θ)+1h2(θ)−2h(θ)cos⁡θ+1=0\begin{aligned} -2a\cos\theta &= -a(h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)}) \\ 2\cos\theta &= h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)} \\ 2h(\theta)\cos\theta &= h^2(\theta) + 1 \\ h^2(\theta) &- 2h(\theta)\cos\theta + 1 = 0 \end{aligned}
h(θ)=cos⁡θ±cos⁡2θ−1=cos⁡θ±j1−cos⁡2θ=cos⁡θ±jsin⁡θ=e±jθ\begin{aligned} h(\theta) &= \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} \\ &= \cos\theta \pm j\sqrt{1 - \cos^2\theta} \\ &= \cos\theta \pm j\sin\theta \\ &= e^{\pm j\theta} \end{aligned}

従って、

h(θ)=e±jθh(\theta) = e^{\pm j\theta}

(b)​

∫02πdθ1−2acos⁡θ+a2=∫02πdθ(1−aejθ)(1−ae−jθ)=∮C1(1−az)(1−az)⋅dzjz=j∮C1(az−1)(z−a)dz=ja∮Cdz(z−1a)(z−a)\begin{aligned} &\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^2} \\ =& \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(1 - ae^{j\theta})(1 - ae^{-j\theta})} \\ =& \oint_C\frac{1}{(1 - az)(1 - \frac{a}{z})} \cdot \frac{dz}{jz} \\ =& j\oint_C \frac{1}{(az - 1)(z - a)}dz \\ =& \frac{j}{a}\oint_C \frac{dz}{(z - \frac{1}{a})(z - a)} \end{aligned}

(cc)​

∣a∣<1|a| < 1 より、∣1a∣>1|\frac{1}{a}| > 1

z=az = a のより、特異点である。

留数定理より、

∮Cdz=2πj⋅ja⋅Res(a,1(z−1a)(z−a))=−2πa(1a−1a)=−2πa⋅aa2−1=2π1−a2(∵∣a∣<1)\begin{aligned} \oint_C dz &= 2\pi j \cdot \frac{j}{a} \cdot \text{Res}(a,\frac{1}{(z - \frac{1}{a})(z - a)}) \\ &= - \frac{2\pi}{a}(\frac{1}{a - \frac{1}{a}}) \\ &= - \frac{2\pi}{a} \cdot \frac{a}{a^2 - 1} \\ &= \frac{2\pi}{1 - a^2} \quad (\because |a| < 1) \end{aligned}
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