東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学2

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祭音Myyura

Description

複素関数に関する以下の問に答えよ。なお虚数単位を $j$ で表す $(j^2 = -1)$。

(1) 複素関数 $f(z) = \frac{1}{z - p}$ を、この関数の特異点 $p$ ($p$ は複素数)を内側にもつ積分路 $C$ に沿って周回積分することを考える。$z - p = re^{j\phi}$ と置くことで $\oint_C\frac{dz}{z - p} = 2\pi j$ となることを示せ。ただし、$r$ と $\phi$ は共に実数であり、$r > 0$ とする。

(2) 下記に示す式 $(2.1)$ の定積分を考える。$a$ は定数である。

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1 - 2a \cos\theta + a^2} \quad |a| < 1 \tag{2.1} \end{align}$$

(a) 関数 $g(\theta) = \frac{1}{1 - 2a\cos\theta + a^2}$ は，$g(\theta) = \frac{1}{(1 - ah(\theta))(1 - a/h(\theta))}$の形で表される。関数 $h(\theta)$ を求めよ。導出過程を示すこと。

(b) $z = e^{j\theta}$ と置くことで、式 $(2.1)$ を $z$ の積分式として表せ。

($c$) 式 $(2.1)$ の定積分を求めよ。

题目描述

回答下列复函数问题，以 $j$ 表示虚数单位，$j^2=-1$。

1. 对

   $$f(z)=\frac1{z-p},$$

   其中 $p$ 为复数，沿内部包含奇点 $p$ 的闭合积分路 $C$ 作围道积分。通过令

   $$z-p=re^{j\phi},$$

   其中 $r,\phi$ 为实数且 $r>0$，证明

   $$\oint_C\frac{\mathrm dz}{z-p}=2\pi j.$$

2. 对常数 $a$ 且 $|a|<1$，考虑定积分

   $$\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm d\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}. \tag{2.1}$$

   1. 函数

      $$g(\theta)=\frac1{1-2a\cos\theta+a^2}$$

      可写为

      $$g(\theta) =\frac1{(1-ah(\theta))(1-a/h(\theta))}.$$

      求 $h(\theta)$，并写出推导。

   2. 作代换 $z=e^{j\theta}$，把 (2.1) 写成关于 $z$ 的围道积分。

   3. 计算定积分 (2.1)。

Kai

(1)

積分路を反時計回りに一周するとし、$z-p=re^{j\phi}$ とおく。このとき

$$\begin{aligned} dz&=e^{j\phi}dr+jre^{j\phi}d\phi,\\ \oint_C\frac{dz}{z-p} &=\oint_C\frac{dr}{r}+j\oint_Cd\phi =2\pi j. \end{aligned}$$

(2)

(a)

$$\begin{aligned} 1 - 2a\cos\theta + a^2 &= (1 - ah(\theta))(1 - \frac{a}{h(\theta)}) \\ &= 1 - a(h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)}) + a^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} -2a\cos\theta &= -a(h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)}) \\ 2\cos\theta &= h(\theta) + \frac{1}{h(\theta)} \\ 2h(\theta)\cos\theta &= h^2(\theta) + 1 \\ h^2(\theta) &- 2h(\theta)\cos\theta + 1 = 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} h(\theta) &= \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} \\ &= \cos\theta \pm j\sqrt{1-\cos^2\theta} \\ &= \cos\theta \pm j|\sin\theta| \end{aligned}$$

したがって二根の集合は $\{e^{j\theta},e^{-j\theta}\}$ であり、

$$h(\theta) = e^{\pm j\theta}$$

(b)

$$\begin{aligned} &\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1 - 2a\cos\theta + a^2} \\ =& \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(1 - ae^{j\theta})(1 - ae^{-j\theta})} \\ =& \oint_C\frac{1}{(1 - az)(1 - \frac{a}{z})} \cdot \frac{dz}{jz} \\ =& j\oint_C \frac{dz}{(az - 1)(z - a)}\\ =& \frac{j}{a}\oint_C\frac{dz}{(z-\frac1a)(z-a)} \qquad(a\ne0) \end{aligned}$$

($c$)

$a=0$ のとき積分値は直接 $2\pi$ である。以下、$0<|a|<1$ とする。このとき $|1/a|>1$ なので、単位円内の極は $z=a$ のみである。

留数定理より、

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta+a^2} &=2\pi j\cdot\frac{j}{a} \operatorname{Res}_{z=a} \frac{1}{(z-\frac1a)(z-a)}\\ &=-\frac{2\pi}{a}\cdot\frac{1}{a-\frac1a}\\ &=\frac{2\pi}{1-a^2}. \end{aligned}$$