東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学1

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Author

祭音Myyura

Description

$x$ と $t$ の関数 $y$ に関する $2$ 階偏微分方程式

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = p^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + p^2\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\big[\ln S(x)\big]$$

について以下の問に答えよ。但し、$S(x) = S_1e^{m(x - x_1)}$ および $y = \phi(x)e^{jqt}$ とし、$p,q,m,S_1,x_1$ は正の定数とする。また、$\ln S(x)$ は $S(x)$ の自然対数を表し、虚数単位を $j$ で表す $j^2 = -1$

(1) 上記の偏微分方程式が $\bigg(\frac{d^2}{dx^2} + A\frac{d}{dx} + B\bigg)\phi(x) = 0$ と表される。係数 $A,B$ を求めよ。

(2) (1)で示した微分方程式の一般解は $\phi(x) = e^{-\beta x}\big(Ce^{j\alpha x} + De^{-j\alpha x}\big)$ とする。実数係数 $\alpha,\beta$ を, 定数 $p,q,m$ を用いて表せ。また $\alpha$ が実数となる条件も示せ。但し $\alpha > 0$ とする。

题目描述

对关于 $x,t$ 的函数 $y$，考虑二阶偏微分方程

$$\frac{\partial^2y}{\partial t^2} =p^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2} +p^2\frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial}{\partial x}[\ln S(x)].$$

设

$$S(x)=S_1e^{m(x-x_1)},\qquad y=\phi(x)e^{jqt},$$

其中 $p,q,m,S_1,x_1$ 均为正常数，$\ln$ 表示自然对数，$j^2=-1$。

1. 将该偏微分方程化为

   $$\left(\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} +A\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}+B\right)\phi(x)=0,$$

   求系数 $A,B$。

2. 设第 1 问所得常微分方程的通解写成

   $$\phi(x)=e^{-\beta x} \left(Ce^{j\alpha x}+De^{-j\alpha x}\right).$$

   用常数 $p,q,m$ 表示实系数 $\alpha,\beta$，并给出 $\alpha$ 为实数的条件；规定 $\alpha>0$。

考点

• 偏微分方程分离变量：代入指数时间因子和指数型截面积函数，把波动方程化为二阶常系数常微分方程。
• 二阶线性方程特征根：由含一阶导数的特征方程分离衰减率与振荡波数，并判断共轭复根出现的参数条件。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(x)e^{jqt} &= p^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi(x)e^{-jqt} + p^2\frac{\partial}{\partial x}\phi(x)e^{-jqt} \frac{\partial}{\partial x}\ln S_1e^{m(x - x_1)} \\ (jq)^2\phi(x)e^{-jqt} &= p^2e^{-jqt}\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + p^2e^{-jqt}\frac{d\phi(x)}{dx} \cdot \ln S_1\frac{d}{dx}\{m(x - x_1)\} \\ -q^2\phi(x) &= p^2\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + p^2 \cdot \ln S_1(m \frac{d\phi(x)}{dx}) \\ \end{aligned}$$

$$p^2\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + p^2 \cdot m \frac{d\phi(x)}{dx} + q^2\phi(x) = 0$$

$$\frac{d^2\phi(x)}{dx^2} + m \cdot \frac{d\phi(x)}{dx} + \frac{q^2}{p^2}\phi(x) = 0$$

$$\big(\frac{d^2}{dx^2} + m\frac{d}{dx} + \frac{q^2}{p^2}\big)\phi(x) = 0$$

従って、

$$A = m,B = \frac{q^2}{p^2}$$

(2)

特性方程式は、

$$\lambda^2 + A\lambda + B = 0$$

$$\lambda = \frac{-A \pm \sqrt{A^2 - 4B}}{2}$$

$$\beta = \frac{A}{2} = \frac{m}{2}$$

$$\alpha = \frac{\sqrt{4B^2 - A^2}}{2} = \frac{\sqrt{(\frac{2q}{p})^2 - m^2}}{2}$$

$\alpha > 0$ が実数となる条件は、

$$(\frac{2q}{p} - m)(\frac{2q}{p} + m) > 0$$

$$\frac{2q}{p} - m > 0 \Rightarrow m < \frac{2q}{p}$$