東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 数学3

标签：

• TITech
• Cauchy-Riemann-Equations
• Singularities-and-Poles
• Residue-Theorem
• Contour-Integration

Author

Zero, 祭音Myyura

Description

以下の (1), (2) に解答せよ。

ただし, 複素数 $z = x + jy$ とし, $x,y$ は実数, $j$ は虚数単位とする。解答は導出過程も含めて示せ。

(1) 下記の (i) (ii) の複素関数 $f(z)$ および $g(z)$ がそれぞれ $z$ によらず正則となるような実数の定数 $a,b,c,d$ を求め, $f(z)$ および $g(z)$ を示せ。

  (i) $f(z) = x^2 + \sqrt{2}a y^2 + j(\sqrt{3} + b)xy$

  (ii) $g(z) = \exp\{cxy - j(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\}$

(2) 複素関数

$$h(z) = 2 + \frac{2z}{z - 2}$$

について以下に答えよ。

  (a) 特異点を求めよ。

  (b) 留数を求めよ。

  ($c$) 積分路 $C_1$ を複素平面上の中心 $0$ 半径 $1$ の円を反時計回り一周するようにとったとき, 下記の複素積分を計算せよ。

$$\int_{C_1}h(z)\text{d}z$$

  (d) 積分路 $C_2$ を複素平面上の中心 $2$ 半径 $1$ の円を反時計回り一周するようにとったとき, 下記の複素積分を計算せよ。

$$\int_{C_2}h(z)\text{d}z$$

题目描述

令复数 $z=x+jy$，其中 $x,y$ 为实数，$j$ 为虚数单位。回答下列问题并写出推导过程。

1. 分别求实常数 $a,b,c,d$，使下列复函数在整个复平面上关于 $z$ 全纯，并写出相应的 $f(z),g(z)$：

   1. $$f(z)=x^2+\sqrt2\,a\,y^2 +j(\sqrt3+b)xy;$$
   2. $$g(z)=\exp\{cxy-j(\sqrt5\,x^2+dy^2)\}.$$

2. 对复函数

   $$h(z)=2+\frac{2z}{z-2},$$

   回答：

   1. 求其奇点；

   2. 求该奇点处的留数；

   3. 令 $C_1$ 为复平面上以 $0$ 为圆心、半径为 $1$、逆时针绕行一周的圆，计算

      $$\int_{C_1}h(z)\,\mathrm dz;$$

   4. 令 $C_2$ 为以 $2$ 为圆心、半径为 $1$、逆时针绕行一周的圆，计算

      $$\int_{C_2}h(z)\,\mathrm dz.$$

考点

• Cauchy–Riemann 方程：对实部、虚部分别求偏导，确定使多项式与指数型复函数全纯的参数。
• 奇点与留数：识别 $h(z)$ 的简单极点并由 Laurent 主部求留数。
• 围道积分：判断极点是否位于各圆形积分路内部，再应用 Cauchy 留数定理并结合逆时针方向。

Kai

(1)

(i)

$$\begin{aligned} f(z) &= x^2 + \sqrt{2}a y^2 + j(\sqrt{3} + b)xy \\ &= u + jv \end{aligned}$$

$CR$ 方程式が成立すれば良い。

$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \frac{\partial v}{\partial y} = (\sqrt{3} + b)x$$

$$\frac{\partial v}{\partial x} = (\sqrt{3} + b)y , \frac{\partial u}{\partial y} = 2\sqrt{2}ay$$

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} &\Leftrightarrow 2x = (\sqrt{3} + b)x \\ &\Leftrightarrow 2 = \sqrt{3} + b \\ &\therefore b = 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} -\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial y} &\Leftrightarrow -(\sqrt{3} + b)y = 2\sqrt{2}ay \\ &\Leftrightarrow -(\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2}a \\ &\Leftrightarrow -2 = 2\sqrt{2}a \\ &\therefore a = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore f(z) &= x^2 + \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2})y^2 + j(\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3})xy \\ &= (x^2 - y^2) + j2xy \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} g(z) &= \exp\{cxy - j(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\} \\ &= e^{cxy}\{\cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) - j\sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\} \\ u &= e^{cxy}\cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) \\ v &= -e^{cxy}\sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2) \\ \frac{\partial u}{\partial x} &= cye^{cxy} \cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) - 2\sqrt{5}xe^{cxy} \sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2)\\ \frac{\partial v}{\partial y} &= -cxe^{cxy} \sin(\sqrt{5}x^2 + dy^2) - 2dye^{cxy} \cos(\sqrt{5}x^2 + dy^2) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} &\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &-2\sqrt{5}xe^{cxy} = -cxe^{cxy} \\ &cye^{cxy} = -2dye^{cxy} \end{aligned} \right. \\ &\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &c = 2\sqrt{5} \\ &c = -2d \\ \end{aligned} \right. \\ &\Leftrightarrow d = -\sqrt{5} \\ \end{aligned}$$

$$\therefore c = 2\sqrt{5} , d = -\sqrt{5}$$

$$\begin{aligned} g(z) &= \exp\{2\sqrt{5}xy - j(\sqrt{5}x^2 - \sqrt{5}y^2)\} \\ &= \exp\{2\sqrt{5}xy - j\sqrt{5}(x^2 - y^2)\} \end{aligned}$$

(2)

$$h(z) = 2 + \frac{2z}{z - 2} = \frac{2(z - 2) + 2z}{z - 2} = \frac{4z - 4}{z - 2}$$

(a)

$$z = 2$$

(b)

$$\begin{aligned} \text{Res}(h(z),2) &= \lim_{z \rightarrow 2}(z - 2)h(z) \\ &= \lim_{z \rightarrow 2}(4z - 4) \\ &= 4 \end{aligned}$$

($c$)

$$\int_{C_1} h(z)\text{d}z = 0$$

(d)

$$\int_{C_2}h(z)\text{d}z = 2\pi j \cdot \text{Res}(h(z),2) = 8\pi j$$