東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 数学2

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• TITech
• Laplace-Transform
• Fourier-Series

Author

Zero, 祭音Myyura

Description

以下の問に解答せよ。ただし, 解答は導出過程も含めて記述すること。

(1) 式 $(2.1)$ で表される関数 $f_1(t)$ のラプラス変換 $F_1(s)$ を求めよ。

$$f_1(t) = \left\{ \begin{aligned} &0 &(t < 0) \\ &-t + 1 &(0 \le t \le 1) \\ &0 &(1 < t) \end{aligned} \right.\tag{2.1}$$

(2) 式 $(2.2)$ で表される周期 $4$ の周期関数 $f_2(t)$ がある ( ただし, $c$ は零でない実定数 ) 。また, 式 $(2.2)$ では $-2 < t \le 2$ の範囲のみが示されている。

$$f_2(t) = \left\{ \begin{aligned} &ct + c &(-1 < t \le 0) \\ &-ct + c &(0 < t \le 1) \\ &0 &(-2 < t \le -1 , 1 < t \le 2) \end{aligned} \right.\tag{2.2}$$

$f_2(t)$ をフーリエ級数展開したところ, 式 $(2.3)$ で表される関数 $f_3(t)$ が得られた。

$$\begin{align} f_3(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\bigg\{a_k\sin(\frac{k\pi}{2}t) + b_k\cos(\frac{k\pi}{2}t)\bigg\} \tag{2.3} \end{align}$$

このとき, 以下の問に答えよ。

  (a) 式 $(2.3)$ において, $a_0$ を求めよ。

  (b) 式 $(2.3)$ において, $a_k$ を求めよ。

  ($c$) 式 $(2.3)$ において, $b_1$ を求めよ。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} F_1(s) &= \int_0^{\infty} f_1(t) e^{-st} \text{d}t \\ &= \int_0^1 (-t + 1) e^{-st}\text{d}t \\ &= \bigg[-\frac{1}{s}(1 - t)e^{-st}\bigg]_0^1 - \frac{1}{s} \int_0^1 e^{-st}\text{d}t \\ &= \bigg[0 + \frac{1}{s}\bigg] + \bigg[\frac{1}{s^2} e^{-st}\bigg]_0^1 \\ &= \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} e^{-s} - \frac{1}{s^2} \\ &= \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} (e^{-s} - 1) \end{aligned}$$

(2)

(a)

$$\begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{2}\int_{-2}^2 f_2(t)\text{d}t \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^1 c(1 - t) \text{d}t \\ &= c \int_0^1 (1 - t)\text{d}t \\ &= c \bigg[t - \frac{1}{2}t^2\bigg]_0^1 \\ &= c(1 - \frac{1}{2}) \\ &= \frac{c}{2} \end{aligned}$$

(b)

$f_2(c)$ は, 偶関数なので, $a_k = 0$

(c)

$$\begin{aligned} b_1 &= \frac{1}{2}\int_{-2}^2 f_2(t) \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^1 c (-t + 1) \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\ &= c \int_0^1 (1 - t) \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\ &= c \bigg[(1 - t) \cdot \frac{2}{\pi} \sin(\frac{\pi}{2}t)\bigg]_0^1 + c \int_0^1 \frac{2}{\pi} \sin(\frac{\pi}{2}t) \text{d}t \\ &= \frac{2c}{\pi} (0 - 0) + \frac{2c}{\pi} \bigg[-\frac{2}{\pi}\cos(\frac{\pi}{2}t)\bigg]_0^1 \\ &= \frac{4c}{\pi^2} (-0 + 1) \\ &= \frac{4}{\pi^2}c \end{aligned}$$