東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 数学1

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Author

Zero, 祭音Myyura

Description

微分方程式に関する以下の問に, 導出過程も含めて答えよ。

(1) 式 $(1.1)$ で与えられる微分方程式がある。ただし, $y$ は $x$ の関数とする。

$$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0 \qquad (1.1)$$

このとき, 以下の問に答えよ。ただし, $x = 0$ において $y = 0$ および $\text{d}y/\text{d}x = 5$ とする。

 (a) 式 $(1.1)$ の微分方程式を解き, $y$ を求めよ。

 (b) 前問 (a) において, $y$ の最大値 $y_{\max}$ を求めよ。

(2) 式 (1.2) で与えられる微分方程式がある。ただし, $y$ は $x$ の関数とし, $y \neq 0$ および $y \neq -2$ とする。また, $x = 0$ において $y = 2$ とする。

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y(x + 2) \qquad \qquad (1.2)$$

このとき, $y$ を求めよ。

(3) 式 (1.3) で与えられる微分方程式がある。ただし, $y$ は $x$ の関数とし, $x \neq 0$ および $y \neq 0$ とする。また, $x = 1$ において $y = 2$ とする。

$$xy \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^2 + x^2 \qquad \quad (1.3)$$

このとき, 以下の問に答えよ。

 (a) $u = y/x$ とし式 (1.3) を変形したところ $\text{d}u/\text{d}x = B/A$ の関係式が得られた。ただし, $A$ は $u$ のみの関数とし, $B$ は $x$ のみの関数とする。このとき $A$ と $B$ をそれぞれ求めよ。

 (b) 式 $(1.3)$ を解いたところ, 最終的に $y^2 = C$ の関係式が得られた。ただし, $C$ は $x$ のみの関数とする。このとき $C$ を求めよ。

题目描述

回答下列微分方程问题，并写出推导过程。

1. 设 $y$ 为 $x$ 的函数，满足

   $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} +4\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+4y=0 \tag{1.1}$$

   及初始条件

   $$y(0)=0,\qquad y'(0)=5.$$
   1. 解方程 (1.1)，求 $y$。
   2. 求所得函数 $y$ 的最大值 $y_{\max}$。

2. 设 $y$ 为 $x$ 的函数，$y\neq0,-2$，并满足

   $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y(x+2), \tag{1.2}$$

   以及 $y(0)=2$。求 $y$。

3. 设 $y$ 为 $x$ 的函数，$x\neq0$、$y\neq0$，并满足

   $$xy\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=2y^2+x^2, \tag{1.3}$$

   以及 $y(1)=2$。

   1. 令 $u=y/x$，把 (1.3) 化为

      $$\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\frac BA,$$

      其中 $A$ 只依赖 $u$，$B$ 只依赖 $x$。分别求 $A,B$。

   2. 解 (1.3) 后把结果写成 $y^2=C$，其中 $C$ 只依赖 $x$。求 $C$。

考点

• 二阶常系数齐次方程：处理重根特征方程，代入初值确定常数并对解求极值。
• 可分离变量方程：分离 $y$ 与 $x$ 后积分，用给定初值确定积分常数。
• 一阶齐次型方程：作代换 $u=y/x$ 化为可分离形式，并在非零条件下完成积分和回代。

Kai

(1)

$$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 4\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 4y = 0$$

(a)

特性方程式は,

$$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$$

$$\Rightarrow \lambda = -2 \quad (\text{重解})$$

一般解は,

$$y = (c_1 + c_2x)e^{-2x} \quad (c_1,c_2 = \text{constant})$$

$x = 0, y = 0$ , $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 5$ より

$$c_1 = 0$$

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = c_2e^{-2x} - 2(c_1 + c_2x)e^{-2x}$$

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\big|_{x=0} = c_2 = 5$$

が分かるから、

$$y = 5xe^{-2x}$$

を得る。

(b)

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 0$ となるのは, $x = \frac{1}{2}$ より

x	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$
y'	+	0	-
y	$\nearrow$		$\searrow$

$y_{\max} = \frac{5}{2e}$

(2)

$$\begin{aligned} &\qquad\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y(y + 2) \\ &\Rightarrow \frac{\text{d}y}{y(y+ 2)} = \text{d}x \\ &\Rightarrow \frac{1}{2}\int(\frac{1}{y} - \frac{1}{y + 2})\text{d}y = \int\text{d}x \\ &\Rightarrow \frac{1}{2}(\log|y| - \log|y + 2|) = x + C \\ &\Rightarrow \log\bigg|\frac{y}{y + 2}\bigg| = 2x + 2C \\ &\Rightarrow \frac{y}{y + 2} = C'e^{2x} \\ &\Rightarrow y = C'e^{2x}(y + 2) \\ &\Rightarrow y = \frac{2C'e^{2x}}{1 - C'e^{2x}} \qquad (C,C' = \text{ constant.}) \end{aligned}$$

$x = 0, y = 2$ より

$$\frac{2}{4} = C' \Rightarrow C' = \frac{1}{2}$$

がわかるから

$$y = \frac{e^{2x}}{1 - \frac{1}{2}e^{2x}} = \frac{2e^{2x}}{2 - e^{2x}}$$

を得る。

(3)

(a)

$$\begin{aligned} &\qquad xy\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^2 + x^2 \\ &\Rightarrow \frac{y}{x}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2(\frac{y}{x})^2 + 1 \\ &y = ux , \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x} \\ &\Rightarrow u(u + ux\frac{\text{d}u}{\text{d}x}) = 2u^2 + 1 \\ &\Rightarrow u^2 + ux\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = 2u^2 + 1 \\ &\Rightarrow ux\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = u^2 + 1 \\ &\Rightarrow \frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{u^2 + 1}{ux} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{u}{u^2 + 1}} \\ &A = \frac{u}{u^2 + 1}, B = \frac{1}{x} \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} &\qquad \frac{u}{u^2 + 1}\text{d}u = \frac{1}{x}\text{d}x \\ &\Rightarrow \int\frac{u}{u^2 + 1}\text{d}u = \int\frac{1}{x}\text{d}x + C \\ &\Rightarrow \frac{1}{2}\log|u^2 + 1| = \log|x| + C \\ &\Rightarrow \log|u^2 + 1| = \log x^2 + 2C \\ &\Rightarrow u^2 + 1 = C'x^2 \\ &\Rightarrow (\frac{y}{x})^2 + 1 = C'x^2 \\ &\Rightarrow 4 + 1 = C'\\ &\Rightarrow 5 = C' \\ \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\frac{y}{x})^2 &+ 1 = 5x^2 \\ y^2 &= x^2(5x^2 - 1) \\ C &= x^2(5x^2 - 1) \end{aligned}$$