東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 電磁気学1

标签：

• TITech
• Biot-Savart-Law
• Magnetic-Force

Author

Zero, 祭音Myyura

Description

真空中の静磁場に関する以下の問に答えなさい。真空中の透磁率を $\mu_0$ とする。

$z$ 軸上を負から正の方向に単位長さ当たり $n$ 個の粒子が速度 $v$ で等速運動している。速度 $v$ は光速に比べて十分小さい。粒子は正の電荷 $q$ をもち、$n$ が十分大きい場合を考える。

(1) 位置 $A(x, y, 0)$ における磁束密度ベクトル $\mathbf{B}_A$ の大きさ $B_A$ を求めなさい。

(2) 磁束密度ベクトル $\mathbf{B}_A$ の単位ベクトル $\hat{\mathbf{B}}_A$ を求めなさい。

(3) 原点から $a$ 離れた位置に $z$ 軸に平行に、太さの無視できる無限の長さの導線が置かれており、$z$ 座標の負から正の方向に電流 $i$ が流れている。この導線の単位長さあたりに働く力 $\mathbf{F}$ の大きさと向きを答えなさい。

次に、半径 $a$ の軌道上を正の電荷 $q$ を持つ粒子が等速円運動をしている場合を考える。粒子は光速に比べて十分小さい速度 $u$ で運動している。また、粒子の数は単位長さあたり $n$ であり、$n$ が十分大きい場合を考える。

(4) 軌道上を流れる電流の大きさ $I$ を答えなさい。

(5) 円軌道の中心 $O$ における磁束密度の大きさ $B_0$ を答えなさい。

(6) 円軌道の中心 $O$ を通り円軌道を含む平面に垂直な軸を円軌道の中心軸とよぶ。円軌道の中心軸上の点 $P$ における磁束密度の大きさ $B_P$ を答えなさい。ただし、$OP = r$ とする。

题目描述

回答关于真空中静磁场的下列问题，真空磁导率为 $\mu_0$。

在 $z$ 轴上，单位长度有 $n$ 个带正电 $q$ 的粒子以速度 $v$ 从 $z$ 轴负方向向正方向作匀速运动；$v$ 远小于光速，且 $n$ 足够大。

1. 求位置 $A(x,y,0)$ 处磁感应强度矢量 $\mathbf B_A$ 的大小 $B_A$。
2. 求 $\mathbf B_A$ 方向的单位矢量 $\hat{\mathbf B}_A$。
3. 在距原点 $a$、与 $z$ 轴平行的位置放置一根无限长、粗细可忽略的导线，电流 $i$ 沿 $z$ 坐标负向正流动。求该导线单位长度所受力 $\mathbf F$ 的大小和方向。

再考虑带正电 $q$ 的粒子在半径 $a$ 的圆轨道上以恒定速率 $u$ 运动。$u$ 远小于光速，沿轨道单位长度的粒子数为 $n$，且 $n$ 足够大。

4. 求圆轨道上等效电流的大小 $I$。
5. 求圆心 $O$ 处磁感应强度的大小 $B_0$。
6. 过 $O$ 且垂直于圆轨道所在平面的直线称为圆轨道的中心轴。对轴上一点 $P$，已知 $OP=r$，求 $P$ 处磁感应强度的大小 $B_P$。

考点

• 连续运动电荷的等效电流：由线电荷密度 $nq$ 与粒子速度得到直线或环形电流。
• Biot–Savart 定律：计算无限长直线电流及圆电流在圆心和轴线上产生的磁场大小与方向。
• 载流导线的磁力：把外磁场代入单位长度受力关系，并用叉乘确定力的空间方向。

Kai

(1)

アンペールの法則より、

$$\begin{aligned} 2\pi r \cdot B_A &= \mu_{0}qnv \\ B_A &= \frac{\mu_{0}qnv}{2\pi r} \\ &= \frac{\mu_{0}qnv}{2\pi \sqrt{x^2 + y^2}} \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} &B_A = B_{Ax}\hat{x} + B_{Ay}\hat{y} \\ &B_{Ax} = -B_A\sin\theta \\ &B_{Ay} = B_A\cos\theta \quad \text{より、} \\ &(\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}},\sin\theta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}) \\ & \mathbf{B}_A = B_A(\frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{x} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{y}) \\ &\therefore \hat{\mathbf{B}}_A = \frac{\mathbf{B}_A}{B_A} = -\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{x} + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\hat{y} \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} B_a &= \frac{\mu_0 qnv}{2\pi a} \\ F &= IB_a \cdot 1 \\ &= \frac{\mu_0 qnv}{2\pi a} I \end{aligned}$$

引き合う方向

(4)

$$I = qn v$$

(5)

ビオ・サバールの法則より、

$$\begin{aligned} \text{d}B_0 &= \frac{\mu_0 I}{4\pi a^2}\text{d}l \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi a^2}a \text{d}\theta \\ B_0 &= \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi a} \cdot 2\pi = \frac{\mu_0 I}{2a} \\ &\therefore B_0 = \frac{\mu_0 qn v}{2a} \end{aligned}$$

(6)

ビオ・サバールの法則より、

$$\begin{aligned} \text{d}B_P &= \frac{\mu_0 I \text{d} l}{4\pi R^2} \cdot \frac{a}{R} \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi R^2}a\text{d}\theta \cdot \frac{a}{R} \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi R^3}a^2 \text{d}\theta \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} B_P &= \frac{\mu_0 I a^2}{4\pi(a^2 + r^2)^{\frac{3}{2}}}\int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta \\ &= \frac{\mu_0 I a^2}{4\pi(a^2 + r^2)^{\frac{3}{2}}} \cdot 2\pi \\ &= \frac{\mu_0 qn v a^2}{2(a^2 + r^2)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}$$