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東京工業大学 物質理工学院 材料系 2021年8月実施 第Iブロック [I-1] 数学

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

题面缺失边界： 当前 Description 与全部本地 Git 历史版本均为空。以下只重建 Kai 能唯一确认的公式与分问；第 1 问原边界条件的具体给法没有留存，但其确定的积分常数和特解仍可确认。

  1. Kai 可确认给定的是可分离变量方程，其分离形式为

    dyy=x−1x dx,\frac{\mathrm dy}{y} =\frac{x-1}{x}\,\mathrm dx,

    即可等价写成

    dydx=x−1xy.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{x-1}{x}y.

    求通解，并使用题中边界条件求特解。边界条件本身无法恢复；Kai 唯一保留它给出的常数 C=1/eC=1/e，因此目标特解为

    y=ex−1x.y=\frac{e^{x-1}}x.

  2. Kai 可唯一确认本问要求计算二重积分

    I=∬x2+y2/4≤a29a2−x2−y24 dx dy,I= \iint_{x^2+y^2/4\leq a^2} \sqrt{9a^2-x^2-\frac{y^2}{4}}\, \mathrm dx\,\mathrm dy,

    其中 a>0a>0。可先令 Y=y/2Y=y/2，再在 xYxY 平面使用极坐标。

  3. 给定

    A=(a−2−23),B=(1bb−2).A= \begin{pmatrix} a&-2\\ -2&3 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&b\\ b&-2 \end{pmatrix}.

    Kai 可确认三小问为：

    1. 用 a,ba,b 表示 det⁡(AB)\det(AB)。

    2. 已知 AA 的特征值为 −1,4-1,4，且 AB=BAAB=BA，求 a,ba,b。

    3. 已知

      (12),(2−1)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}

      是 BB 的特征向量，求 bb，并对正整数 nn 求 BnB^n。

考点​

  • 可分离变量微分方程：分离并积分含 x−1x^{-1} 的一阶方程，再由仅存的边界结果确定特解。
  • 变量代换与 Jacobian：把椭圆域线性缩放为圆域，再用极坐标计算含径向根式的二重积分。
  • 矩阵乘积与交换性：使用行列式乘法、迹与特征值关系确定参数，并直接比较 AB,BAAB,BA。
  • 对称矩阵对角化与矩阵幂：由给定正交特征向量构造归一化矩阵，将 BnB^n 化为特征值幂。

Kai​

(1)​

与えられた微分方程式は変数分離型であり、次のように一般解を求められる：

dyy=x−1xdx=(1−1x)dxlog⁡∣y∣=x−log⁡x+C0∴  y=Cexx\begin{aligned} \frac{dy}{y} &= \frac{x-1}{x} dx \\ &= \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx \\ \log |y| &= x - \log x + C_0 \\ \therefore \ \ y &= \frac{C e^x}{x} \end{aligned}

ここで、 C0,CC_0, C は積分定数である。

また、与えられた境界条件から C=1/eC=1/e となるので、

y=ex−1x\begin{aligned} y &= \frac{e^{x-1}}{x} \end{aligned}

を得る。

(2)​

Y=y/2Y=y/2 とすると、 dxdy=2dxdYdxdy = 2dxdY であり、与えられた積分範囲は xYxY 平面上の原点を中心とする半径 aa の円である。

さらに、 x,Yx,Y に対して極座標 r,θr, \theta を導入する：

x=rcos⁡θ,  Y=y2=rsin⁡θ\begin{aligned} x = r \cos \theta, \ \ Y = \frac{y}{2} = r \sin \theta \end{aligned}

dxdY=rdrdθdxdY = r dr d \theta である。 以上の準備の下で、次のように計算できる：

I=2π∫0a9a2−r2rdr=−2π3[(9a2−r2)3/2]0a=23(162−27)πa3\begin{aligned} I &= 2 \pi \int_0^a \sqrt{9a^2 - r^2} r dr \\ &= - \frac{2 \pi}{3} \left[ \left( 9a^2 - r^2 \right)^{3/2} \right]_0^a \\ &= \frac{2}{3} \left( 16 \sqrt{2} - 27 \right) \pi a^3 \end{aligned}

(3)​

①

∣AB∣=∣A∣∣B∣=(3a−4)(−2−b2)=−(3a−4)(b2+2) \begin{aligned} \left| AB \right| &= \left| A \right| \left| B \right| \\ &= (3a-4)(-2-b^2) \\ &= -(3a-4)(b^2+2) \end{aligned}

②​

まず、固有値が −1-1 と 44 ということはトレースが 33 なので、 a=0a=0 がわかる。 このとき、

AB=(−2b4−2+3b−2b−6),  BA=(−2b−2+3b4−2b−6) \begin{aligned} AB = \begin{pmatrix} -2b & 4 \\ -2+3b & -2b-6 \end{pmatrix} , \ \ BA = \begin{pmatrix} -2b & -2+3b \\ 4 & -2b-6 \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、 AB=BAAB=BA となるのは b=2b=2 のときである。

③​

与えられた2つのベクトルが BB の固有ベクトルになるのは、 b=−2b=-2 のときである：

B=(1−2−2−2)\begin{aligned} B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}

与えられた2つの固有ベクトルを使って、

P=15(122−1)\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、

P2=(1001),  PBP=(−3002)\begin{aligned} P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \ \ PBP = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、次のように計算できる：

Bn=P(−3002)nP=P((−3)n002n)P=15(2n+2+(−3)n−2n+1+2⋅(−3)n−2n+1+2⋅(−3)n2n+4⋅(−3)n)\begin{aligned} B^n &= P \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n P \\ &= P \begin{pmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} P \\ &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2^{n+2} + (-3)^n & -2^{n+1} + 2 \cdot (-3)^n \\ -2^{n+1} + 2 \cdot (-3)^n & 2^n + 4 \cdot (-3)^n \end{pmatrix} \end{aligned}
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