東京工業大学 物質理工学院 材料系 2021年8月実施 第Iブロック [I-1] 数学

Author

Miyake

Description

Kai

(1)

与えられた微分方程式は変数分離型であり、次のように一般解を求められる：

ここで、 は積分定数である。

また、与えられた境界条件から となるので、

を得る。

(2)

とすると、 であり、与えられた積分範囲は 平面上の原点を中心とする半径 の円である。

さらに、 に対して極座標 を導入する：

である。 以上の準備の下で、次のように計算できる：

(3)

①

②

まず、固有値が と ということはトレースが なので、 がわかる。 このとき、

なので、 となるのは のときである。

③

与えられた2つのベクトルが の固有ベクトルになるのは、 のときである：

与えられた2つの固有ベクトルを使って、

とおくと、

なので、次のように計算できる：